Bồi dưỡng học sinh giỏi Số học 6

Ước và bội là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học. Tuy nhiên sự cơ bản luôn luôn có sự thú vị riêng của nó. Những người học số học luôn cần phải năm vững vấn đề này, không chỉ vì sự ứng dụng rộng rãi của nó mà nó còn là nền tảng xây dựng nên những vấn đề phức tạp và đa dạng hơn. Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số khái niệm cơ bản. A. Một số khái niệm cơ bản. i) Ước số. Một số nguyên d được gọi là ước số của một số nguyên a khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên b sao cho a bd = . ii)Ước số chung. Một số nguyên dương d được gọi là ước số chung của hai số nguyên dương a và b khi và chỉ khi d là ước số của a và d cũng là ước số của b. Tương tự ta cũng có định nghĩa uớc số chung của n số nguyên dương 1 2 , ,..., n a a a iii)Ước chung lớn nhất. Một tính chất cơ bản của ước mà các bạn cũng có thể nhận ra là: nếu d là ước của a thì

d a ≤ , do đó tập hợp các ước số của một số là hữu hạn. Trong một tập hữu hạn thì luôn tồn tại phần tử bé nhất, nhỏ nhất. Do đó khái niệm về ước chung lớn nhất được hình thành( ước chung nhỏ nhất là đối của ước chung lớn nhất , dó đó ta chỉ cần xét ước chung lớn nhất là đủ). Số nguyên dương d được gọi là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a và b nếu d là ước số chung của a và b và với mọi số nguyên dương 'd là ước chung của a và b thì

' d d ≥ . Kí hiệu: ( , ). d a b = Tương tự ta cũng có định nghĩa uớc số chung lớn nhất của n số nguyên dương

1 2 , ,..., n a a a , kí hiệu( ) 1 2 , ,..., n a a a iv)Nguyên tố cùng nhau. Hai số nguyên ,a b được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ( ) , 1. a b =

Tương tự ta định nghĩa các số 1 2 , ,..., n a a a được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ

khi ( ) 1 2 , ,..., 1. n a a a = v)Bội số. Một số nguyên k được gọi là bội số của một số nguyên a khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên b sao cho . k ab = vi)Bội số chung Một số nguyên dương k được gọi là bội chung của hai số nguyên dương a và b nếu k là bội số của a và k cũng là bội số của b. Tương tự ta cũng có định nghĩa bội số chung của n số nguyên dương 1 2 , ,..., n a a a vii)Bội chung nhỏ nhất. Số nguyên k được gọi là bội chung lớn nhất của hai số nguyên a và b nếu k là bội số chung của a và b và với mọi số nguyên 'k là bội số chung của a và b thì ' k k ≤ . Kí hiệu: [ ] , . q a b =

ThuVienDeThi.com

Tương tự ta cũng có định nghĩa bội số chung nhỏ nhất của n số nguyên dương

1 2 , ,..., n a a a , kí hiệu[ ] 1 2 , ,..., n a a a B. Một số tính chất của ước và bội. Cho , , , a b c d là các số nguyên dương,khi đó. i)( , ) ( , ) ac bc c a b = .

ii)Cho c là ước chung dương của a và b . Khi đó: ( , ) , . a b a b c c c  =    

Từ đây suy ra ( , ) , 1. a b d a b d d   = ⇔ =    

iii)Tồn tại các số nguyên ,x y sao cho ( ) , . a b ax by = + iv)( , ) 1 a b = và ac b  thì . c b  v)( , ) 1 a b = ,( , ) 1 a c = thì ( , ) 1. a bc = vi)( , , ) (( , ), ) ( ,( , )) (( , ), ) a b c a b c a b c a c b = = =

vii) [ ] ( ) , , ab a b a b = .

viii)Cho k là bội số chung của a và b.

[ ] , , 1. k k k a b a b   = ⇔ =    

ix) [ ] [ ] , , ca cb c a b =

x) [ ] [ ] , , , , a b c a b c   =  

C. Phép chia Euclid. Trong các phần trên , chúng t Ta đã thông qua các khái niệm và uớc chung và và một số tính chất về ước số. Thế nhưng chúng ta vẫn chưa biết cách làm để tìm được ước số chung của ước số. Qua phần này chúng ta sẽ trả lời câu hỏi thông qua việc tìm hiểu phép chia Euclid. Để đơn giản chúng ta chỉ đi tìm ước chung của các số nguyên dương, việc các số nguyên âm là hòan tòan tương tự.Trước hết chúng ta sẽ xem xét ý tưởng của phương pháp này. Euclid đã bắt đầu với nhận xét sau: ( , ) ( , ) ( , ) , (*). a b b a b b a b d a b = − = − = ≠ . Chứng minh nhận xét này không khó,xin được dành cho bạn đọc. Giả sử a b ≥ ,khi đó từ đẳng thức ( , ) ( , ) a b a b b = − ta đã đi về bài toán tìm ước số chung của hai số nguyên dương nhỏ hơn là , a b b − . Tiếp tục là bài tóan với hai số nguyên dương nhỏ hơn nữa là 2 , a b b − (trong trường hợp a b b − > ) hay là ( ,2 ) a b b a − − ( trong trường hợp a b b …