Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS năm học 2008 - 2009 môn Toán

Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs

năm học 2008-2009

môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có một trang câu 1 (2 điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

xyz x y z.    câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình . 3 2 1 x x x 3   

b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức

. y x 10 z A

xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10         

câu 3 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì

3 3 3 x y z 3xyz.   

b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 mn 2 

2 2 2 2

2 2 2 2 m n m n P . m n m n     câu 4 (1.5 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là     m 4 x m 3 y 1     tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

câu 5 (2,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH.

a) Chứng minh E là trung điểm của AH. b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO.

Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD ............

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

đề chính thức

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009

1

Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ Hướng dẫn chấm thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs

năm học 2008-2009

môn Toán

(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 4 trang)

I. Một số chú ý khi chấm bài

 Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.

 Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.

 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

II. Đáp án và biểu điểm

câu 1 (2 điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

. xyz x y z   

Đáp án biểu điểm Phương trình đã cho tương đương với

. 1 1 1 1 xy yz zx    0,25 điểm

Không mất tính tổng quát, giả sử (*) x y z   0,25 điểm

- Nếu thì (loại). z 3  2 1 1 1 3 1 1 xy yz zx z 3      0,25 điểm

- Nếu thì phương trình đã cho trở thành z 2 

. 2xy x y 2    Hay .    2x 1 2y 1 5   

0,25 điểm

Do (*) nên chỉ có trường hợp 2x - 1 = 5 và 2y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 1 0,25 điểm

- Nếu thì phương trình đã cho trở thành z 1 

xy x y 1    .    x 1 y 1 2    

0,25 điểm

Do (*) nên chỉ có trường hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2. 0,25 điểm

Nghiệm là: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3). 0,25 điểm

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2008-2009

2

CÂU 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình . 3 2 1 x x x 3   

b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức

. y x 10 z A

xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10         

Đáp án biểu điểm a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình 3 3 2 4x x 3x 3x 1      0,25 điểm

 

3 3 4x x 1    0,25 điểm

3 x 4 x 1      3 4 1 x 1    0,25 điểm

Nghiệm của phương trình: 3

1 x

4 1 

 0,25 điểm

b) Ta có xyz 10  0,25 điểm

xy x 10 z A

xy x 10 xyz xy x xz 10 z xyz          0,25 điểm

 

xy x 10 z A

xy x 10 10 xy x z x 10 xy          0,25 điểm

= 1 xy x 10 A

xy x 10 10 xy x x 10 xy          0,25 điểm

CÂU 3 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì

3 3 3 x y z 3xyz.   

b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 mn 2 

2 2 2 2

2 2 2 2 m n m n P . m n m n    

Đáp án biểu điểm

a) (1,25 điểm). Ta có

     

P x y z xyz x y xy x y z xyz          

3 3 3

3 3 3 3 3

0,25 điểm

          

x y z xy x y xyz

x y z x y …