Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2016 - 2017 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN NGA SƠN

(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: ...... tháng ...... năm 2016

Bài 1 (4,0 điểm) 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:

A = . 2 3

1 12 10 2

3 ) 2 )( 3 4 ( 2

3 ) 6 ( 6

         

  

x x x x x x x

x x x

Điều kiện x , x 4; x 9 ; x 1 0    

2) Rút gọn biểu thức: B =

3 2 2

3 2

3 2 2

3 2

 

   



Câu 2: (3,0 điểm).

Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d). a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Bài 3: (4,0 điểm)

a. Với Tính giá trị của biểu thức: B = .  

3 5 2 17 5 38

. 5 14 6 5 x

  

   

2015 3 2 3 8 2 x x  

b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x.   Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC. 1 2

b) tanB.tanC = . AD HD c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.

d) . HB.HC HC.HA HA.HB 1 AB.AC BC.BA CA.CB   

Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . 2 2 2 2 2 2 x y y z z x 2015      

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

2 2 2 x y z T y z z x x y      

Câu 6:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:

3 2 IA IB IC IM IN IK   

ĐỀ CHÍNH ỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm

1)

2điểm

6x (x 6) x 3 3 1 A

2(x 4 x 3)(2 x) 2x 10 x 12 3 x x 2

6x (x 6) x 3 3 1 A

2(2 x)( x 3)( x 1) 2( x 3)(2 x) (2 x)( x

             

            

Do x 0; x 1; x 4; x 9    

A =

) 2 )( 3 )( 1 ( 2

) 3 ( 2 )1 ( 3 3 ) 6 ( 6

x x x

x x x x x

  

      

A =

) 2 )( 3 )( 1 ( 2

6 2 3 3 3 6 6

x x x

x x x x x x

  

      

A =

) 2 )( 3 )( 1 ( 2

) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) 6 2 (

x x x

x x x x x x x

  

      

A = = => ĐPCM ) 2 )( 3 )( 1 ( 2

) 2 )( 3 )( 1 (

x x x

x x x

  

  

2 1

0,75

0,75

0,5

1 (4đ)

2)

2điểm

B 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 4 2 3 2 4 2 3

B (2 3)(3 3) (3 3)(2 3) 3 3 3 6 2 (3 3)(3 3) B 1 B 2 2

             

           

  

1,0

0,75

0,25

2 (3đ)

a. (1,5đ)

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là: (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m 

(xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m 

 0 1

2 1 0 1

o o o

o o o

x y x

x y y

             Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (- 1; 1).

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

b. (1,5đ)

+ Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1 do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1) + Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1 do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2) + Với m ≠ 1 và m ≠ 2 Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung.

0,5 đ

ThuVienDeThi.com