Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2016 2017 môn thi Toán 9

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2016 – 2017

Môn thi: Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1:

a) Tính giá trị của đa thức tại 4 2016 ( ) ( 3 1) f x x x    1 1 9

9 9 5 5 4 4

x     

b) So sánh và 2 2 2017 1 2016 1  

2 2 2.2016

2017 1 2016 1  

c) Tính giá trị biểu thức: với 00 < x < 900 2 2 sin cos sin .cos 1 cot 1 tan x x x x x x    

d) Biết là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 5 2 3 9 20 5 a b 5 a b 5     Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) 3 2 1 3 3 1 2 3       

x x x x

b) 2 x 5x 8 2 x 2     Câu 3: a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0 c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số. Câu 4:

a) Chứng minh rằng 2

4 4 b a  2 2 3 3 b a b a ab   

b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1 + + =2 a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a). Câu 5: Cho nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ ABC  D xuống AB, AC lần lượt là E và F

a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC

b) Giả sử HD = AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 1 3 c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.

------------------HẾT-----------------

ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I ThuVienDeThi.com

Bài 1 (2,0 điểm):

a) Cho .

2 2 x x x x A

x x 1 x x 1

       

Hãy rút gọn: (Với 0 x 1). B 1 A x 1   

b) Cho . Thực hiện tính . 3 3 x 2 3 2 3     2 3 64 3x (x 3)

  Bài 2 (2,0 điểm):

Giải các phương trình sau:

a) 5 2 2    x x + 5 2 3 2    x x = 7 2

b) x x 4 2 2014 2014    Bài 3 (2 điểm):

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Trên tia NC lấy điểm G. Đường thẳng GM cắt DB tại H và cắt DA tại K. KN cắt AB tại E; NH cắt AB tại F.

a) Chứng minh NM là phân giác của góc ENF. b) Khi G là trung điểm của NC. Chứng minh GA, DB, KN đồng quy.

Bài 4 (2,0 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh:

a) 1    CP OP BN ON AM OM

b) 9 AM BN CP + + OM ON OP 

Bài 5 (1,0 điểm):

Tìm các số nguyên x, y để: x xy y 2 2 2 3 2 7   

Bài 6 (1,0 điểm):

Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng: a) A(x) = x5 – x chia hết cho 5.

b) M = luôn nhận giá trị nguyên. x x x  

5 3 2 30 6 15

ThuVienDeThi.com

Câu Ý Đáp án

2 2 2 2 9

5 2 5 2 x                 

= 2 2 9

5 2 5 2      

2 2 2 5 4 2 5 4 9 9 8 1 5 2

       

a)

( ) (1) 1 f x f  

Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 ( 2017 1 2016 1)( 2017 1 2016 1) 2015 1 2014 1

2017 1 2016 1

     

 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 (2015 1) (2014 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016)

2017 1 2016 1 2017 1 2016 1 2017 1 2016 1

              

2 2 2 2 2017 2016 2.2016

2017 1 2016 1 2017 1 2016 1

      

b)

Vậy > 2 2 2017 1 2016 1  

2 2 2.2016

2017 1 2016 1  

2 2 sin cos sin .cos cos sin 1 1 sinx cos

x x x x x x

x

   

3 3 sin cos sin .cos 1 cos 1+sinx x x x x x    

   2 2 3 3 sinx cos sin sinx.cos cos sin cos sin .cos sin .cos sinx cos sinx cos

x x x x x x x x x x x x

         

c)

sin .cos 1 sin .cos 1 x x x x    ĐK: (*) a b 5 

2 3 9 20 5 a b 5 a b 5

2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5)

   

       

(*) 2 2 2 2 9a 45b a 5( 20a 100b 5b)       

Ta thấy (*) có dạng trong đó A, B , nếu vô lí vậy B A B 5  Q  A B 0thi 5 I B   

= 0 => A= 0.

Do đó (*)

2 2

2 2 9a 45b a 0

20a 100b 5b 0

         

2 2 2 2

2 2

9a 45b a 0 9a 45b a 0

9 9 9a 45b b 0 a b 4 4

                      

Câu 1

d)

(không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4

2

9 a b a 9 a 0 hoac 4 b 4 b 0 b 4b 0

    …