Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp trường môn thi Toán

THCS NGHĨA THẮNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG MÔN THI : TOÁN NGÀY THI : 11/4/2015 THỜI GIAN : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: ( 4 điểm)

1/ Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:

A = 2 3 4 15 10

23 3 5

- + - +

-

2/ Cho biểu thức B = 3x 6 x x 1 x 2 x x 2 x 2 1 x + + + - + + - + - a/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn B. b/ Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng.

Bài 2: (5 điểm)

1/ Tìm hệ số a > 0 sao cho các đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hình thang có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích).

2/ Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời và . Tính giá trị của 1 1 1 2 x y z    2 2 1 4 xy z  

biểu thức P = (x + 2y + z)2015. Bài 3: (5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (D BC, E AC, Î Î F AB) cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng: Î

a/ BH.BE + CH.CF = BC2.

b/ AH.AD + BH.BE + CH.CF = .

2 2 2

2 AB BC CA  

c/ . 4 AM BN CK AD BE CF   

Bài 4: (3 điểm)

Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trên tia Ix vuông góc với CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K ( , DN cắt MC tại L ) K MD  . Tìm vị trí của điểm I trên CD sao cho CN.NK có giá trị lớn nhất. ( ) L MC  Bài 5: (3 điểm)

Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y.

----------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------

Họ và tên thí sinh :…………………………………………………. Số báo danh :………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung Điểm 1

A = 2 3 4 15 10

23 3 5

- + - +

-

( ) ( )

2 2 3 4 15 10

2 23 3 5

- + - + =

-

4 2 3 8 2 15 2 5

46 6 5

- + - + =

- ( ) ( )

( )

2 2

2

3 1 5 3 2 5

3 5 1

- + - + =

-

3 1 5 3 2 5 3 5 1 - + - + =

- 3 5 1 3 5 1 - =

- = 1

0,5

0,25

0,75

0,25

0,25

1 (4đ)

2 a/ ĐKXĐ x 0,x 1 ³ ¹

B = 3x 6 x x 1 x 2 x x 2 x 2 1 x + + + - + + - + -

( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 x 1 x 1 x 2 3x 6 x

x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

+ - + + = - - - + - + - +

( )( )

3x 6 x x 1 x 4 x 4

x 1 x 2

+ - + - - - =

- +

( )( )

x 2 x 3

x 1 x 2

+ - =

- +

( )( ) ( )( )

x 1 x 3

x 1 x 2

- + =

- +

x 3 x 2 + =

+

b) Với x 3 B

x 2 + =

+

x 0,x 1 ³ ¹

0,25

0,5

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

Mà x 2 2 + ³

1 1 2 x 2 Û £ +

1 3 1 2 x 2 Û + £ +

Dấu “ = “ xãy ra khi (tmđk) x 0 x 0 = Û =

Vậy giá trị lớn nhất của B là khi x = 0. 3 2

0,25

0,25

0,25

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

4

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

D

C B

A

O

y=1

y=5

0,5

1

+) Kí hiệu hình thang ABCD cần tìm như hình vẽ.

+) Tính được C( ; D( 6 ;5) a

2 ;1) a

BC = ; AD = 6 a

2 a

+) 6 2 .4 : 2 8 ABCD S a a          a = 2 ( Thỏa ĐK a > 0)  +) Vậy phương trình đường thẳng là y = 2x – 1.

0,5

0,5

0,25

0,25

2 (5đ)

2

+) Ta có 1 1 1 2 x y z    

2 1 1 1 4 x y z         

+) Do đó

2

2 1 1 1 2 1 x y z xy z          

2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 0 x y z xy yz zx xy z         

0,25

0.25

0,25

ThuVienDeThi.com