Ðề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 thpt tỉnh Thanh Hóa

ðỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12 THPT TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017

Câu I (4,0 ñiểm) Cho hàm số 1 1 x y x

+ = −.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( ) C của hàm số.

2. Cho hai ñường thẳng cùng ñi qua ñiểm (1;1), I có tổng các hệ số góc bằng 5 . 2 Mỗi ñường

thẳng cắt ñồ thị ( ) C tại hai ñiểm phân biệt và bốn giao ñiểm ñó là bốn ñỉnh của một hình chữ nhật. Viết phương trình hai ñường thẳng ñó.

Câu II (4,0 ñiểm)

1. Giải phương trình 2 cos cos 2 2 sin sin . 2 2 4 x x x x π   + = +    

2. Giải hệ phương trình

2 2 2

3 2 (4 2) 4 ( 1) 2 2 3 2 ( , ). ( 2 1) 2 1 8 13( 2) 82 29

x x y x y y x y y x y y x x y x

 − + + − = − − + − +  ∈  − − + = − − + − 

ℝ

Câu III (4,0 ñiểm)

1. Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn . xyz x z y + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức 2 2 2 2 2 2 2 4 3 . 1 1 1 ( 1) 1

z z P x y z z z = − − + + + + + +

2. Tìm các giá trị của tham số m ñể hệ bất phương trình sau có nghiệm

2 3 3 log ( 7) ( 3)log ( 7) 4 0

. ( 1 2 2) 27 2

x x x x

mx x x m x x

 + + − + + − ≥  + + + + ≤ + + 

Câu IV (4,0 ñiểm)

1. Gọi S là tập hợp các ước số nguyên dương của số 43200. Lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S. Tính xác suất lấy ñược hai phần tử là hai số không chia hết cho 5.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ , Oxy cho hình chữ nhật . ABCD Gọi G là ñiểm thuộc ñoạn BD sao cho 4 , BD BG = M là ñiểm ñối xứng của ñiểm A qua . G Hình chiếu vuông góc của ñiểm M trên các ñường thẳng , BC CD lần lượt là (10;6) H và (13;4). K Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD biết rằng ñường thẳng BD ñi qua ñiểm (1;2). E

Câu V (4,0 ñiểm)

1. Cho lăng trụ ñứng . ' ' ' ABC A B C có 0 6, 12, 60 . AB BC ABC = = = Thể tích của khối chóp '. ' ' C ABB A bằng 216. Gọi M là ñiểm nằm trong tam giác ' ' ' A B C sao cho tổng diện tích tất cả các mặt của hình chóp . M ABC ñạt giá trị nhỏ nhất. Chứng minh rằng M là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ' ' '. A B C Tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng ' B M và '. AC

2. Trong không gian với hệ tọa ñộ , Oxyz cho ñiểm (2;2;0) A và mặt cầu ( ) S có phương trình

2 2 2 2 2 2 0. x y z x y z + + − − − = Viết phương trình mặt phẳng ( ) OAB biết ñiểm B thuộc ( ) S và tam giác OAB ñều.

------------- HẾT --------------

ThuVienDeThi.com

NHÓM TOÁN THPT THANH HÓA

1

LỜI GIẢI ðỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12 THPT TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017

Câu I.2. Cho hai ñường thẳng cùng ñi qua ñiểm (1;1), I có tổng các hệ số góc bằng 5 . 2 Mỗi ñường

thẳng cắt ñồ thị ( ) C tại hai ñiểm phân biệt và bốn giao ñiểm ñó là bốn ñỉnh của một hình chữ nhật. Viết phương trình hai ñường thẳng ñó. Lời giải: Cách 1: Do I là tâm ñối xứng của (C) nên hai ñường thẳng qua I cắt (C) sẽ tạo thành một hình bình hành, hình bình hành ñó là hình chữ nhật khi và chỉ khi ñộ dài hai ñường chéo bằng nhau. Gọi d là ñường thẳng ñi qua ñiểm I và có hệ số góc k : ( 1) 1 d y k x ⇒ = − + . Hoành ñộ giao ñiểm của d và ( ) C là nghiệm của phương trình

2 1 ( 1) 1 2 2 0(*) 1 x k x kx kx k x

+ = − + ⇔ − + − = − .

ðiều kiện ñể d cắt ( ) C tại hai ñiểm phân biệt là (*) phải có hai nghiệm phân biệt

2 0 0 ' ( 2) 0

k k k k k

≠  ⇔ ⇔ > ∆= − − >  .

Gọi , A B là giao của (C) và d suy ra 1 1 2 2 ( , 1), ( , 1) A x kx k B x kx k − + − + , trong ñó 1 2 , x x là

nghiệm của (*), theo ñịnh lí Viet ta có

1 2

1 2

2

2

x x

k x x k

+ =  − = 

.

2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) (1 )[( ) 4 ] AB x x kx kx k x x x x = − + − = + + −

2 2 2 2 8(1 ) 8(1 ) =(1 ) 4 4 k k k k AB k k k − + +   + − = ⇒ =    

+) Gọi 1 2 1 2 , ( ) k k k k ≠ là hệ số góc của hai ñường thẳng cần tìm khi ñó hai ñường chéo của

hình bình hành lần lượt có ñộ dài là

2 1

1

8(1 ) k k + và

2 2

2

8(1 ) k k + .

Do hai ñường chéo bằng nhau nên

2 1

1

8(1 ) k k + =

2 2

2

8(1 ) k k + 2 2 2 1 1 2 (1 ) (1 ) k k k k ⇔ + = +

1 2 1 2 1 2 ( )(1 ) 0 1 k k k k k k ⇔ − − = ⇔ =

Theo bài ra ta có 1 2 1 2 5 1 2, 2 2 k k k k + = ⇒ = = hoặc ngược lại.

Vậy hai ñường thẳng cần tìm là 2 1 y x = − và 1 1 2 2 y x = + .

Cách 2: Ta có I là tâm …