Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm học 2014 - 2015 môn thi Toán lớp 11 phổ thông

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG Ngày thi: 20/3/2015 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( 2,0 điểm). Giải phương trình 3 3 8 cot tan . sin 2 x x x + =

Câu 2 ( 2,0 điểm). Gọi S là tập tất cả các ước nguyên dương của số 10800. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc

S , tính xác suất để số đó chia hết cho 5.

Câu 3 ( 2,0 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa 12 x trong khai triển của nhị thức Niu-tơn

1 , 0. 2

n x x x   − >     Biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn điều kiện

2 3 4 1 1 2 3 1 2 3 4 2016.

n n n n n n n n n n n

C C C nC C C C C C − + + + + + = ⋯

Câu 4 ( 2,0 điểm). Tính giới hạn ( ) 2 3 3 2 lim 2 2 3 x x x x x x →+∞ + − + + .

Câu 5 ( 4,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh

' AA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC , đường thẳng ' BC hợp với mặt phẳng ( ) ' ' ABB A một góc 0 30 .

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và ' BB .

a) Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với A’C. Xác định thiết diện của ( ) P với hình

lăng trụ . ' ' ' ABC A B C và tính diện tích thiết diện đó.

b) Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ) ' ' BA C .

Câu 6 ( 2,0 điểm). Cho hai đường tròn ( ) O và ( )' O cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Một đường

thẳng thay đổi đi qua A cắt (O) tại A và M, cắt ( )' O tại A và M’. Gọi P và P’ lần lượt là trung điểm của

AM và AM’. Tìm các quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PP’ và trung điểm J của đoạn thẳng MM’.

Câu 7 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có , , BC a CA b AB c = = = . Chứng minh rằng a, b, c theo thứ tự

đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 tan tan . 2 2 3 A C ⋅ =

Câu 8 ( 2,0 điểm). Cho dãy số nguyên dương ( ) na với 1 2 2 1 1, 2, 4 , 1. n n n a a a a a n + + = = = + ≥

Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 1 5 n n n a a + + − ⋅ là số chính phương với mọi số nguyên dương n.

Câu 9 ( 2,0 điểm). Cho hai số thực dương x và y thoả mãn điều kiện 6 3 32 4 1 x y + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( ) ( ) ( )

5 2

2 2 2 3

. 3 3 2

x y P x y x y

+ + =

+ − + +

------ HẾT ------ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.................................. Giám thị 1 (Họ tên và ký).............................................................................................................. Giám thị 2 (Họ tên và ký).............................................................................................................. ThuVienDeThi.com

http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NGÀY THI 20/3/2015 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 4 trang) Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 (2đ)

(2.0 điểm)

Điều kiện: sin2 0 x ≠ . PT tương đương với

4 4

3 3 8 sin cos sin 2 sin .cos

x x x x x − = 0.5

2 2 2 2 1 sin os 1 os2 .sin sin

x c x c x x x ⇔ = − ⇔ = − 0.5

2 os2 1 os 2 os2 2 0 os2 2 ( )

c x c x c x c x l

 = −  ⇔ − − = ⇔ = 

0.5

Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm. 0.5

Câu 2 (2đ)

(2.0 điểm)

Ta có 4 3 2 10800 2 .3 .5 = . Mỗi ước nguyên dương của 10800 có dạng

{ } { } { } 2 .3 .5 , 0,1,2,3,4 , 0,1,2,3 , 0,1,2 a b c a b c ∈ ∈ ∈ 0.5

Có 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân suy ra số các ước nguyên dương của 10800 là 3.4.5 60 = số. 0.5

Các ước nguyên dương của 10800 chia hết cho 5 có dạng

{ } { } { } 2 .3 .5 , 0,1,2,3,4 , 0,1,2,3 , 1,2 a b c a b c ∈ ∈ ∈ .

Suy ra số các ước nguyên dương chia hết cho 5 của10800 là 5.4.2 40 = số.

0.5

Gọi A = “Số được chọn chia hết cho 5” thì ta có | | | | 60, | | 40 A S Ω= = Ω = .

Xác suất cần tìm là | | 40 2 ( ) . | | 60 3

A P A Ω = = = Ω

0.5

Câu 3 (2đ)

(2.0 điểm)

Biến đổi được 1 1

k n k n

C k n k C −= − + .Khi đó từ giả thiết có

( 1) ( 2) …