Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2014 - 2015 môn thi Toán lớp 12 THPT

Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số: có đồ thị (C) x y x

2 1    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Cho điểm A(0; a). Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:   3sin 2x cos2x 5sinx + 2 3 cosx + 3 + 3

1 2cosx 3

  

 

2. Giải hệ phương trình:   2 20 6 17 5 3 6 3 5 0 , 2 2 5 3 3 2 11 6 13

x y x x y y x y x y x y x x

           

        

A

Câu III (4,0 điểm)

1. Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : , , a b c 1 ab bc ca   

2 2 2 2 2 2

3 3 . 2 2 2 8 a b c b c c a a b         

2. Tìm m để hệ có nghiệm thực.

2 2

2 2

5 2 2

2 4 5 1

x xy y

m x xy y m

           Câu IV (4,0 điểm)

1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ

số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là

số lẻ?

2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là

hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm là trung điểm của cạnh BC, 9 ( ;3) 2 M

phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là : . Viết phương  4 4 0 x y    trình đường thẳng BC. Câu V (4,0 điểm) 1. Cho tứ diện có và . Gọi SABC , , SA a SB b SC c    , , SA SB SA SC SB SC    R , theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và thể tích của tứ diện . Tính V SABC

diện tích tam giác ABC theo và chứng minh rằng: , , a b c

6 2 972

2

V R 

2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm và     1;2; 1 , 0;4;0 A B 

mặt phẳng (P) có phương trình: . Viết phương trình mặt 2 2 2015 0 x y z    

phẳng đi qua hai điểm và tạo với mặt phẳng một góc nhỏ nhất.  Q , A B  P

………………………………..HẾT…………………………… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Năm học: 2014-2015

Môn thi: TOÁN

Lớp 12 THPT Ngày thi 24/03/2015. Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.

Số báo danh .............................

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN

LỚP 12 THPT (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang )

Câu Ý Nội dung Điểm

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số  C x y x

2 1   

* Tập xác định: D  \ 1 A 0.25

* Sự biến thiên:  

2 3 ' 0 1 y x D x   

, , , lim 1 x y  lim 1 x y 

1 1 lim ; lim x x y y      

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y =1 .

0.25

0.25

0.25

Bảng biến thiên

1 +

-  Hàm số nghịch biến trên từng khoảng    ;1 , 1; ;  

0.5

I. (4.0)

1. (2.0)

* Đồ thị :

8

6

4

2

2

4

6

8

15 10 5 5 10 15

h y= 1 g x= 1

f x=

x + 2

x 1

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-2), cắt trục hoành tại (-2;0). Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 1) làm tâm đối xứng.

0.5

Hướng dẫn chấm Đề chính thức

x

y’

y

-  1 + 

1

– _

ThuVienDeThi.com