Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2013 - 2014 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Ngày thi 25/10/2013

Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình . 2 3sin2 3 1 2cos x x  

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số (1), m là tham số thực. 3 2 4 3 y x mx m   

a) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. 4 y x m 

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, trong đó . (0; 1) C 

Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực

3 2 2

2 3 3 2 ( , ) 2 6

x x y x xy m x y x x y m

            

A

a) Giải hệ khi . 2 m 

b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi .S ABC SA

là trung điểm của và là trung điểm của Biết , M BC H . AM HB HC a  

; góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo A 0 30 HBC    SHC   HBC 0 60

thể tích khối chóp và tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt a .S HBC BC

phẳng .   SHC

Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình thang ABCD vuông Oxy

tại A và D; . Đường thẳng BD có phương trình , 2 , 3 AB AD CD AD   2 1 0 x y  

đường thẳng AC đi qua điểm . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD   4;2 M

bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực thỏa mãn và . , , a b c 0 a b c   

2 2 2 3 a b c   

Tìm giá trị nhỏ nhất của . 3 2014 P abc a b c    

………. Hết……….

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

- Họ và tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………….

ThuVienDeThi.com

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014

Môn: TOÁN THPT

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Gồm 05 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,0 điểm)

Nội dung Điểm

Phương trình tương đương: . 3sin 2 3 1 1 cos2 x x   0,5

. 1 3 3 cos2 sin 2 2 2 2 x x    0,5

. 3 cos 2 3 2 x           0,5

  12

4

x k

k x k

 

 

        

A

Vậy phương trình có nghiệm là hoặc . 12 x k     ( ) 4 x k k     A

0,5

Câu 2. (2,0 điểm)

Nội dung Điểm

a) (1,0 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm: . 3 2 4 4 3 x mx m x m    0,25

2

0

3 1 0 (1)

x

x mx

     

0,25

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2 9 4 0 m    0,25

. Vậy các giá trị cần tìm của m là hoặc .

2 3

2 3

m

m

   

  

2 3 m  2 3 m  0,25

ThuVienDeThi.com