Đề thi chon đội tuyển học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh Lớp 12 THPT năm hoc 2012-2013 môn thi Toán

SỞ GIÁ O DỤC VÀ ĐÀ O TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 19 - 10 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút. Bài 1. (4 điểm)

Cho số nguyên dương n . Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:

1

3

1

3 ( 1,2,..., )

0

i

n

i i

n

i i

x i n

x n

x





           





Bài 2. (4 điểm)

Tìm tất cả các hàm số : f R R  thỏa mãn : 2 2 ( 2 ( )) 2( ( )) , , 2

y f x f y f x x y R     

Bài 3. (4 điểm)

Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là 1 2 , ,..., k d d d . Chứng minh rằng nếu

1 2 ... 2 1 k d d d k n      thì 2

n là số chính phương.

Bài 4. (4 điểm)

Cho ba đường tròn ( ) C , 1 ( ) C , 2 ( ) C trong đó 1 ( ) C và 2 ( ) C tiếp xúc trong với ( ) C tại , B C và 1 ( ) C , 2 ( ) C tiếp xúc ngoài với nhau tại . D Tiếp tuyến chung trong của 1 ( ) C và

2 ( ) C cắt ( ) C tại hai điểm A và E . Đường thẳng AB cắt 1 ( ) C tại điểm thứ hai , M

đường thẳng AC cắt 2 ( ) C tại điểm thứ hai . N Chứng minh rằng: 1 1 2 DA DE MN  

Bài 5. (4 điểm)

Cho một bảng ô vuông có 2012  2012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +). Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không ?

HẾT

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÒNG 2 Bài 1. (4 điểm)

Cho số nguyên dương n . Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:

1

3

1

3 ( 1,2,..., )

0

i

n

i i

n

i i

x i n

x n

x





           





Giải. Đặt 3 ( 1,2,..., ) i i t x i n    Ta có:

1 1 1

3 3 2 3 2

1 1 1 1 1 1 1

0 ( 1,2,..., ) 0 ( 1,2,..., ) 0 ( 1,2,..., )

( 3) 4 4

81 ( 3) 0 9 27 27 0 9 0 4

i i i

n n n

i i i i i i

n n n n n n n

i i i i i i i i i i i i i i

t i n t i n t i n

t n t n t n

t t t t n t t t

  

      

                                               

  

      

1

1 2

1

0 ( 1,2,..., ) 9 0 ( 1,2,..., ) 2 4

4 9 ( ) 0 2

i

i i n

i n i

i n i

i i i

t i n

t t i n t n

t n

t t







                        



 

Gọi k là số các it có giá trị bằng 0 và l là số các it có giá trị bằng 9

2 . Khi đó, ta có:

8 9 4 9 2

9

n l l n

n k l n k

              

 Khi n không chia hết cho 9 hệ vô nghiệm.  Khi 9 n m  ( * m N  ),ta có k = m, l = 8m, hệ có tập nghiệm:

  1 2 ( , ,..., ) n S t t t  trong đó m giá trị bằng 0 và 8m giá trị bằng 9

2

Hay   1 2 ( , ,..., ) n S x x x  trong đó m giá trị bằng 3 và 8m giá trị bằng 3

2

Bài 2. (4 điểm)

Tìm tất cả các hàm số : f R R  thỏa mãn : 2 2 ( 2 ( )) 2( ( )) , , 2

y f x f y f x x y R      (*)

Giải. Xét hàm số ( ) 2 ( ), g x f x x R  

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

(*)  2 2 ( ( )) ( ( )) g x g y y g x    (1) +) Từ (1) suy ra nếu 1 2 ( ) ( ) g y g y  thì 1 2 y y  suy ra g là đơn ánh

+) Từ (1) cho 0 x  suy ra 2 ( ( )) ( (0)) g g y y g   suy ra tập giá trị của g là R . Suy ra g là song ánh, nên tồn tại a R  sao cho ( ) 0 g a  .

Cho 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( (0)) 0 x y a g a a g a g g a a g          (0) 0 g   Do đó ( ( )) , g g x x x R   Cho 2 2 0 ( ) ( ( )) , y g x g x x R     Suy ra 0 x  thì ( ) 0 g x  và ( ) 0 0 g x x    Cho x = 1 suy ra g(1) = 1

+) với 0, x y R   , ta có

   

2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) g x y g x g g y g y g x g y g x       

Lấy x tùy ý thuộc R . Khi đó trong hai số ,x x luôn có số không âm, ta có:   0 ( ) ( ) ( ) g x x g x g x      ( ) ( ), g x g x x R    

+) với 0, x y R   , ta có   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x y g x y g x g y g x g y          Vậy ( ) ( ) ( ), , g x y g x g y x y R      Ta có g cộng tính trên Q và g(1) = 1 ( ) , g x x x Q    +) Cho x y  khi đó   0 g x y   và

       g x g x y y g x y g y g y       

Suy …