Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán 8

Đề kiểm tra học sinh giỏi môn toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (3 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết  A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .

c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 

 

3 3 2 2 2 0 1 1 3 x y x y y x x y

      

Bài 2: (3 điểm) Giải các phương trình sau:

a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12

b) 2003

6

2004

5

2005

4

2006

3

2007

2

2008

1            x x x x x x

Bài 3: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minh EDF vuông cân 

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

----HẾT----

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm và biểu điểm

Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ)

Xét (0,25đ)

2 A 10x 7x 5 7 5x 4 B 2x 3 2x 3        

Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3) (0,25đ)   7 2 3  x

  

Mà Ư(7) = x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B (0,25đ)   1;1; 7;7    

c) (1,5đ) Biến đổi = 3 3 x y y 1 x 1   

4 4

3 3 x x y y (y 1)(x 1)     

= ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)   4 4

2 2 x y (x y)

xy(y y 1)(x x 1)

  

   



= (0,25đ)     2 2

2 2 2 2 2 2 x y x y x y (x y)

xy(x y y x y yx xy y x x 1)

    

       

= (0,25đ)  

2 2

2 2 2 2 x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy 2             

= = (0,25đ)  

2 2

2 2 2 x y (x x y y) xy x y (x y) 2           

  

2 2 x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3)     

= = (0,25đ)   

2 2 x y x( y) y( x) xy(x y 3)     

 

2 2 x y ( 2xy) xy(x y 3)  



= Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) 2 2 2(x y) x y 3  



Bài 2: (3 điểm) a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)  (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ)   * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)  

ThuVienDeThi.com

x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ)    Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 b) (1,75đ)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

2008 2007 2006 2005 2004 2003

           

(0,5đ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003

                

 2003

2009 2004

2009 2005

2009 2006

2009 2007

2009 2008

2009            x x x x x x

(0,25đ) x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003            

(0,5đ)  0 ) 2003

1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1 )( 2009 (        x

Vì ; ; 1 1 2008 2005  1 1 2007 2004  1 1 2006 2003 

Do đó : (0,25đ) 0 2003

1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1      

Vậy x + 2009 = 0 x = -2009 (0,25đ) 

Bài 3: (2 điểm) a) (1đ)

Chứng minh EDF vuông cân 

Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân tại D (0,25đ)   

Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) (0,25đ)    1 2 ˆ ˆ E F 

Mà = 900 = 900 (0,25đ) 1 2 1 ˆ ˆ ˆ E E F    2 2 1 ˆ ˆ ˆ F E F  

= 900. Vậy EDF vuông cân (0,25đ) EDF 

b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng

Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD (0,25đ) 

Mà EDF vuông cân DI = EF (0,25đ)   1 2

Tương tự BI = EF DI = BI (0,25đ) 1 2 

I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO   Hay O, C, I thẳng hàng (0,25đ)

A

B

E I

D

C

O

F

2 1

1

2

ThuVienDeThi.com