Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm 2014 - 2015

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Q. TÂN BÌNH (14-15)

(NGÀY THI: 30/12/2014) Bài 1: (4 điểm)

1) Cho phương trình 2 ax bx c 0    có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ. 2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt   4 2 mx m 3 x 3m 0     .

Bài 2: (4 điểm)

1) Giải phương trình sau: x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2        (2 điểm)

2) Giải hệ phương trình :   

  

2 2

2 2

x y x y 15

x y x y 3

    

   

(2 điểm)

Bài 3: ( 4 điểm)

1) Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc         

(1,5 điểm)

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:   2 2 x 17y 34xy 51 x y 1740      (1,5 điểm)

3) Tìm a, b để 2 ax b y

x 1  



có giá trị nhỏ nhất là -1 và có giá trị lớn nhất là 4. (1 điểm)

Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BM, CN cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của AH. Gọi I là giao điểm của AH và MN. Chứng minh I là trực tâm của BKC  . Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm M di chuyển trên đường tròn (O). Gọi 1 1 1 A ,B ,C lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các cạnh BC, AC, AB. Chứng

minh rằng:

1) Ba điểm 1 1 1 A ,B ,C thẳng hàng. (2 điểm)

2) Đường thẳng chứa 1 1 1 A ,B ,C luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển. (2 điểm)

Bài 6: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn (AB < AD). Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCN. Chứng minh tứ giác BKCD nội tiếp.

  HẾT  

ÑEÀ THI CHỌN HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9 VOØNG 2, Quaän TAÂN BÌNH (2014-2015)

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Q. TÂN BÌNH (14-15)

Bài 1: (4 điểm) 1) Cho phương trình 2 ax bx c 0    có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ. (2 điểm)

Do a, b, c là 3 số nguyên lẻ nên ta đặt: a 2m 1;b 2k 1;c 2n 1       với k,m,n Z 

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì: 2 b 4ac   phải là số chính phương lẻ (do b lẻ và 4ac là số chẵn).

 

2 2 2t 1 b 4ac            2 2 2k 1 2t 1 4 2m 1 2n 1       

       4k k 1 4t t 1 4 2m 1 2n 1        : vô lí vì vế trái là số chia hết cho 8 còn vế phải không

chia hết cho 8. Do đó phương trình có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.

2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt   4 2 mx m 3 x 3m 0     . (2 điểm)

   4 2 mx m 3 x 3m 0 1    

Đặt  2 t x ,phương trình 1 trở thành:     2 mt m 3 t 3m 0 2    

  a m;b m 3 ;c 3m    

   

2 2 2 2 2 b 4ac m 3 4m 3m m 6m 9 12m 11m 6m 9                

Theo định lí Vi-et, ta có:

1 2

1 2

b m 3 S t t a m c 3m P t t 3 a m

            

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

 

2 m 0 m 0 a 0 11m 6m 9 0 0 3 108 3 108 3 108 m m 0 m 3 0 11 11 11 S 0 m m 0 hay m 3 P 0 3 0 luôn đúng

                                    

         

Vậy 3 108 m 0 11    thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 2: (4 điểm)

1) Giải phương trình sau: x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2        (2 điểm)

x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2        (điều kiện: x 1  )

HÖÔÙNG DAÃN ÑEÀ THI CHỌN HOÏC SINH GIOÛI VOØNG 2 LÔÙP 9

Quận TÂN BÌNH (2014-2015)

ThuVienDeThi.com