Kỳ thi học sinh giỏi cấp quận vòng 3 môn Toán năm học 2014 - 2015

PHÒNG GD&ĐT QUẬN LONG BIÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 3

Môn : TOÁN Năm học 2014-2015 Ngày thi: 05/02/2015 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.(3 điểm) Cho biểu thức : 1 1 1 : 1 1 1 1 1 xy x xy x x x A

xy xy xy xy

                        

a) Rút gọn A. b) Biết rằng , Tìm giá trị lớn nhất của A 1 1 6 x y  

Bài 2.(6 điểm) 1. Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a) b) 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x      

1 4

7

x y

x y

      2. Tìm các số nguyên x y, z thoả mãn: . 2 2 2 3 2 3 x y z xy y z      

Bài 3.(3 điểm)

a) Cho a,b,c là 3 số thực dương có tổng a + b + c =2015. Chứng minh rằng :

3 3 3 3 3 3

2 2 2 19 19 19 6045 5 5 5 b a c b a c ba b cb c ac a          b) Mỗi ô vuông đơn vị của một bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 bất kì . Hai số nào được ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số trùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.

Bài 4: (3,0 điểm)

a) Tìm các số tự nhiên a sao cho có giá trị là số chính phương 2 10 136 A a a   

b) Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p+1 và 4p+1 cũng là số nguyên tố.

Bài 5: (5điểm ) Cho đường tròn (O; R) và một dây cung BC cố định. A là điểm di động trên cung lớn BC. Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Từ D vẽ DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC (E  AB; F AC )

a) Chứng minh tứ giác AEDF và tứ giác BEFC nội tiếp.

b) Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh AI luôn đi qua một điểm cố định.

c) Từ I vẽ IK; IH lần lượt vuông góc với AB, AC chứng minh KH//BC

d) Từ B và C vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AI lần lượt tại M và N. Chứng minh 3 đường thẳng AD; EF, KH đồng quy và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM là một điểm cố định.

----------Hết---------

Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh:............................................................................SBD.....................................

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN VÒNG 3 NĂM HỌC 2014-2015

Bài Câu Nội dung Điểm

a

1 1 1 : 1 1 1 1 1 xy x xy x x x A

xy xy xy xy

                         Điều kiện xác định : x > 0; y>0; xy  1.

Rút gọn được 1 P

xy 

1.5đ

1

b)

Áp dụng BĐT Cô Si cho hai số dương , ta có

1 1 1 1 1 2 . 2 2 3 A A x y x y xy      

Suy được A ≤ 9 dấu “=” xảy ra khi x = y =1/9

1.5đ

1

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a) b) 2 2 3 5 2 3 12 14 x x x x      

1 4

7

x y

x y

      a) Lập luận được tập nghiệm S={2}

b) Suy luận được tập nghiệm (x,y) = (3;4)

2.0đ 2.0đ

2

2

Tìm các số nguyên x y, z thoả mãn: . 2 2 2 3 2 3 x y z xy y z      

Biến đổi được (2x-y)2+3(y-2)2+4(z-1)2<4

Suy ra 4(z-1)2 <4 <=> (z-1)2 ≤ 1

z=1 do đó (2x-y)2+3(y-2)2 <4

suy được 3(y-2)2 < 4    

2

2

2 2 0

3 2 1 1

y y

y y y

                 

Kiểm tra các điều kiện tương ứng với 3 giá trị của y kết luận được y=2 thì

x=1 thỏa mãn đk

2.0đ

ThuVienDeThi.com