Đề khảo sát HSG huyện lớp 8 môn Toán năm 2018 2019 phòng GD ĐT Thái Thụy Thái Bình

PHÒNG GD&ĐT

THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm).

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2 x y 2xy 4x 4y 5     

b) Chứng minh * n N  thì 3 n n 2   là hợp số.

c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

Bài 2 (4,0 điểm). Cho biểu thức:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 x y y x x y A . x x xy xy y xy x xy y                

với x 0, y 0,x y   .

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A biết x, y thỏa mãn đẳng thức: 2 2 x y 10 2(x 3y)     .

Bài 3 (3,0 điểm).

a) Giải phương trình 2 2 2 2 1 1 1 1 3x 2017 x 2018 4x 2019 8x 2018       

b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 x 2 x 1 y 4y 1      

Bài 4 (3,0 điểm).

a) Cho phương trình 2x m x 1 3 x 2 x 2       . Tìm m để phương trình có nghiệm dương.

b) Cho đa thức 4 3 2 B(x) x ax bx cx d     . Biết B(1)=10; B(2) =20; B(3) =30.

Tính B(12) + B(-8).

Bài 5 (5,0 điểm).

Cho hình vuông ABCD, điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C). Trên nửa mặt phẳng bờ là BC không chứa hình vuông ABCD vẽ hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm của DH và BK, N là giao điểm của KH và BD. Chứng minh:

a) DH  BK.

b) DN.BD + KM.BK = DK2 .

c) BH DH KH 6 HC HM HN   .

Bài 6 (1,0 điểm). Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x 3y a 2x y 2    .

------HẾT------ Họ và tên thí sinh:……………………………Số báo danh: …………..

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2018-2019 Bài Nội dung Điểm

1 (4,0đ)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2 x y 2xy 4x 4y 5     

b) Chứng minh * n N  thì 3 n n 2   là hợp số.

c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

1a (1,5đ)

2 2 x y 2xy 4x 4y 5      = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9

0,5

= (x - y + 2)2 - 32 0,5

= (x - y + 5)(x - y -1) 0,5

1b (1,25đ)

Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1)

0,5

=(n+1)( n2 - n + 2) 0,25

Do * n N  nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 0,25

Vậy n3 + n + 2 là hợp số 0,25

1c (1,25đ)

Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 0,25 Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a2 + a2 +2a + 1 + (a2+a)2 = (a2+a)2+ 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a + 1)2 0,5

vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn  a2 + a + 1 là số lẻ  (a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ. 0,25

Vậy a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 là một số chính phương lẻ (đpcm). 0,25

2 (4,0đ)

2 2 2 2

2 2 2 2 2 x y y x x y A . x x xy xy y xy x xy y                

với x 0, y 0,x y   .

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A biết x, y thỏa mãn đẳng thức:

2 2 x y 10 2(x 3y)     .

2a (2,25đ)

Với x 0, y 0,x y    ta có:

A =

2 2 2 2

2 2 2 x y xy (x y )(x y) x y . x xy(x y) x xy y              

0,5

= x

2 - ) (

) ).( ( ) ( 2

y x xy

y x y x y x xy



    . 2 2 y xy x

y x

 

 0,5

= 2

x +

2 2 (x y)(x xy y ) xy(x y)     . 2 2 x y x xy y    0,5

= 2

x + x y xy

 0,25