Đề thi học kỳ II môn Toán Khối 11

TRƯỜNG THPT AN NHƠN TÂY Họ và tên: ……………………… Lớp : …………. SBD: …………

ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2014-2015

MÔN : TOÁN – KHỐI 11

THỜI GIAN : 90 PHÚT

Câu 1: Tính các giới hạn sau

1/ ( 1 điểm )

3

1

1 lim 1 x

x

x 





2/ ( 1 điểm ) 1

2 1 lim 1 x

x x  

 

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số : f(x)= tại x=1 ( 1 điểm )

2 6; 1

6 cos( 1), 1

x x x

x x x

        

Câu 3:

1/Cho y=x3 – 3x -1.Giải phương trình y/ = 0 ( 1 điểm )

2/Cho g(x) = cos6x +2.cos2x.sin4x + 3sin2x.cos4x + sin4x.Tính g/(x) ( 1 điểm )

Câu 4:

Cho y= có đồ thị (C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ,biết hệ số góc của 2 2 1 x

x





tiếp tuyến bằng 5. ( 1 điểm )

Câu 5 .Tính vi phân của :

a) u =x+ 2 ( 0,5 điểm)

b) t = 9- 4cos2x ( 0,5 điểm)

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy

,SA=2a .Gọi AH,AK là các đường cao của các tam giác SAB,SAD.

a)Chứng minh: Tam giác SCD vuông ( 1 điểm )

b)Tính góc tạo bởi SO và (SAD) ( 1 điểm )

c)Tính khoảng cách từ C đến (AHK) ( 1 điểm )

--------------------------------------------------Hết -----------------------------------

ĐÁP ÁN TOÁN 11( HỌC KỲ II-2014-2015) Câu 1: Tính các giới hạn sau

ThuVienDeThi.com

1/

3

1

1 lim 1 x

x

x 





= (0.5 đ)

2

1

(1 )(1 ) lim 1 x

x x x x 

    = (0.25 đ) 2

1 lim(1 ) x x x   

= 3 . ( 0,25 đ)

2/ = + Vì ( 1 đ) 1

2 1 lim 1 x

x x  

  

1

1

lim(2 1) 1

lim( 1) 0

1 1 0

x

x

x

x

x x







       

    { Không giải thích -0,75 đ }

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số : f(x)= tại x=1

2 6; 1

6 cos( 1), 1

x x x

x x x

        

Ta có : f(1) = 6 (0.25 đ)

(0.25 đ) 2

1 1 lim ( ) lim( 6) 6 x x f x x x        

(0.25 đ) 1 1 lim ( ) lim(6 cos( 1)) 6 x x f x x x        

Vì

1 1 1 lim ( ) lim ( ) 6 lim ( ) 6 x x x f x f x f x         

Vì nên hàm số f(x) liên tục tại x=1. (0.25 đ) 1 lim ( ) (1) 6 x f x f   

Câu 3: 1/Cho y=x3 – 3x -1.Giải phương trình y/ = 0 Ta có : y/ =3x2 – 3 (0.25 đ) Tập xác định của y/ là :R (0.25 đ)

Pt : y/ = 0 (0.25 đ) 1

1 x x

    Vậy : x=-1,x=1. (0.25 đ) 2/Cho g(x) = cos6x + 2.cos2x.sin4x + 3sin2x.cos4x + sin4x. Chứng minh: g/(x) không phụ thuộc vào x. Ta có: g(x)= (cos6x + sin2x.cos4x) + (2cos2xsin4x + 2sin2x.cos4x) + sin4x = cos4x( cos2x +sin2x) + 2sin2x.cos2x(cos2x+sin2x) + sin4x ( 0,25 đ) = cos4x + 2sin2x.cos2x + sin4x ( 0,25 đ) = ( cos2x +sin2x)2 = 1 ( 0,25 đ)

g/(x)= 0  Vậy : g/(x) =0. ( 0,25 đ) Câu 4:

Cho y= có đồ thị (C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ,biết hệ số góc 2 2 1 x

x



 của tiếp tuyến bằng 5. ( 1 điểm )

Ta có: y/ = ( 0,25 đ) 2 5 (2 1) x 

ThuVienDeThi.com

Mà k = 5 (2x+1)2 = 1 2x+1 =1 hay 2x+1=-1 2 5 5 (2 1) x     

x=0 hay x=-1 ( 0,25 đ)   Với x0=0 , y0=-2, y/(0)= 5 Phương trình tiếp tuyến : y=5(x-0)-2 ( 0,25 đ)  y= 5x-2.  Với x0=-1 , y0=3, y/(0)= 5 Phương trình tiếp tuyến : y=5(x+1)+3 ( 0,25 đ)  y= 5x+8.  Vậy : Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y=5x-2 ; y=5x+8. Câu 5 .Tính vi phân của :

c) u =x+ 2 ( 0,5 điểm) du dx  

d) t = 9- 4cos2x ( 0,5 điểm) 4sin 2 dt xdx  

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với đáy

,SA=2a .Gọi AH,AK là các đường cao của các tam giác SAB,SAD.

a)Chứng minh: Tam giác SCD vuông ( 1 điểm ) S

Ta có: M K

CD SA vì ( 0,25 đ) H N ( ) ( ) SA ABCD CD ABCD      Ta có : CDAD A I D vì ABCD là hình vuông ( 0,25 đ) Suy ra : CD(SAD) B C

Mà AD (SAD) CDSD ( 0,25 đ) Vậy Tam giác SCD vuông tại D ( 0,25 đ) b)Tính góc tạo bởi SO và (SAD) ( 1 điểm )

Gọi I là trung điểm của AD

Ta có: OI là đường trung bình của tam giác ACD

( 0,25 đ) / /

2 2

OI CD

CD a OI

     Mà CD(SAD)  OI(SAD)  SI là hình chiếu vuông góc của SO xuống (SAD) OSI là góc tạo bởi SO và (SAD) ( 0,25 đ)

Ta có : SO= ; sinOSI= ( 0,25 đ) 3 2 2 a 1 2 3 2 3 2 2

a OI SO a  

ThuVienDeThi.com