Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 1

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN

Xét hàm số ( ) y f x = có đồ thị ( ) C .

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( ) 0 0 ; M x y : ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ' y f x x x y y f x = - + =

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k

- Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: f’(x0) = 0 (*) - Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm x0 Þ tung độ tiếp điểm y0 Þ bài toán trở về dạng 1

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C đi qua điểm ( ) ; M a b

Cách 1. (Phương pháp tiếp điểm)

- Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với (C) tại điểm ( ) 0 0 ; M x y , suy ra tiếp tuyến D có phương

trình dạng ( )( ) ( ) 0 0 0 ' y f x x x f x = - + ()

- Vì ( ) ; M a b ÎD nên ( )( ) ( ) 0 0 0 ' b f x a x f x = - + (**)

- Giải phương trình (**) tìm được x0 Þ bài toán trở về dạng 1.

Cách 2. (Phương pháp điều kiện tiếp xúc)

- Đường thẳng D đi qua ( ) ; M a b , với hệ số góc k (chưa biết k ) có phương trình dạng

( ) y k x a b = - + (***)

- Điều kiện cần và đủ để D tiếp xúc với ( ) C là hệ ( ) ( ) ( )

(1)

' (2)

f x k x a b

f x k

ì = - + ïí = ïî

có nghiệm.

- Thế (2) vào (1), giải phương trình tìm được x , sau đó thay x vào (2) tìm được k , rồi thay k vào phương trình (***) Þ phương trình tiếp tuyến cần lập.

Chú ý :

a) Đ/k để hai đường cong ( ) y f x = và ( ) y g x = tiếp xúc nhau là hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ' '

f x g x

f x g x

ì = ïí = ïî

có nghiệm.

b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1. c) Hệ số góc của tiếp tuyến 0 '( ), tan k f x k j = = (j là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành).

d) Tiếp tuyến có hệ số góc k (chưa biết k ) tạo với đường thẳng y ax b = + một góc j thì tan 1 k a ka j - = +

e) Khoảng cách từ điểm ( ) 0 0 ; M x y tới đường thẳng : y ax b D = + ( 0 ax y b Û - + = ) là : 0 0

2 1

ax y b

a

- +

+

.

f) ABC D vuông tại A khi và chỉ khi . 0 AB AC = 

; ABC D cân tại A khi và chỉ khi AB AC = .

Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài 1. Tìm ,a b để đồ thị hàm số ax 1 b y x + = - cắt Oy tại ( ) 0; 1 A - đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc

bằng 3. Đáp số: 4, 1 a b = - =

Bài 2. Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 y f x x x mx = = + + + có đồ thị (Cm).

a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng 1 y = tại 3 điểm phân biệt ( ) 0;1 , , C D E . b) Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

Đáp số: 9 9 65 )0 ) 4 8 a m b m ± ¹ < =

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê
`ˆÌœÀÊ

/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ ThuVienDeThi.com

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2011

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái Trang 2

Bài 3. (ĐH Huế khối D-1998) Chứng minh rằng hàm số 4 2 2 2 1 y x mx m = - + - + luôn đi qua 2 điểm cố

định A và B . Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Đáp số: 5 3 ; 4 4 m m = =

Bài 4. (ĐH khối B-2004) Cho hàm số 3 2 1 2 3 3 y x x x = - + có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của

(C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Đáp số: 8 / 3 y x = - + Bài 5. (HV Quân Y 1997) Cho hàm số 3 1 ( 1) y x m x = + - + có đồ thị (Cm). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tai các giao điểm của (Cm) với Oy. b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.

Đáp số: ) 1 b)m=9 4 5; 7 4 3 a y mx m m = - + - ± = - ±

Bài 6. Cho hàm số 2 1 1 x y x - = - có đồ thị (C). Cho M bất kì trên (C) có M x m = . Tiếp tuyến của (C) tại M

cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi.

Bài 7. Cho hàm số 1 1 x y x + = - có đồ thị (C). Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận

của (C) một tam giác có diện tích không đổi.

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Bài 8. (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số ( )

3 2 1 1 4 2 …