Chuyên đề Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chuyên đề1

Khảo Sát SựBiến Thiên Và VẽĐồThị Hàm Số

§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

Bài tập 1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm sốsau a) y = 2x3 −3x2 + 1. b) y = −x3 −3x + 2. c) y = x3 + 3x2 + 3x. d) y = x4 −2x2 + 3. e) y = −x4 + 2x3 −2x −1. f) y = √

x2 −2x −3.

g) y = 2x + 3

x + 2 . h) y = x + 2

3x −1. i) y = x2 −4x + 4

1 −x .

Lời giải.

a) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 6x2 −6x; y′ = 0 ⇔ x = 0 x = 1 . Bảng biến thiên:

x −∞ 0 1 + ∞

y′ + 0 − 0 +

y

−∞

1

0

+ ∞

Vậy hàm sốđồng biến trên các khoảng (−∞; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên (0; 1). b) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = −3x2 −3 < 0, ∀x ∈R. Do đó hàm sốluôn nghịch biến trên R. c) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 3x2 + 6x + 3 ≥0, ∀x ∈R. Do đó hàm sốluôn đồng biến trên R.

d) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 4x3 −4x; y′ = 0 ⇔ x = 0 x = ±1 . Bảng biến thiên:

x −∞ −1 0 1 + ∞

y′ − 0 + 0 − 0 +

y

+ ∞

2

3

2

+ ∞

Vậy hàm sốđồng biến trên các khoảng (−1; 0) , (1; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) , (0; 1).

e) Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = −4x3 + 6x2 −2; y′ = 0 ⇔ x = 1 x = −1

2 . Bảng biến thiên:

x −∞ −1

2 1 + ∞

y′ + 0 − 0 −

y

−∞

−5

16

−2

−∞

1

www.MATHVN.com

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Minh Hiếu

Vậy hàm sốđồng biến trên khoảng −∞; −1

2 và nghịch biến trên khoảng −1

2; +∞ .

f) Tập xác định: D = (−∞; −1] ∪[3; +∞). Đạo hàm: y′ = x −1 √

x2 −2x −3 ; y′ = 0 ⇔x = 1. Bảng biến thiên:

x −∞ −1 3 + ∞

y′ − +

y

+ ∞

0 0

+ ∞

Vậy hàm sốđồng biến trên khoảng (3; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).

g) Tập xác định: D = R\ {−2}. Đạo hàm: y′ = 1 (x + 2)2 > 0, ∀x ∈D.

Do đó hàm sốđồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

h) Tập xác định: D = R\ 1

3 . Đạo hàm: y′ = − 7 (3x −1)2 < 0, ∀x ∈D.

Do đó hàm sốnghịch biến trên các khoảng (−∞; 1

3) và ( 1

3; +∞).

i) Tập xác định: D = R\ {1}. Đạo hàm: y′ = −x2 + 2x

(1 −x)2 ; y′ = 0 ⇔ x = 0 x = 2 . Bảng biến thiên:

x −∞ 0 1 2 + ∞

y′ − 0 + + 0 −

y

+ ∞

2

+ ∞

−∞

0

−∞

Vậy hàm sốđồng biến trên các khoảng (0; 1), (1; 2) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞).

Bài tập 1.2. Tìm m đểhàm sốy = x3 + (m −1) x2 + m2 −4 x + 9 luôn đồng biến trên R.

Lời giải. Tập xác định: D = R. Đạo hàm: y′ = 3x2+2(m−1)x+m2−4; ∆′ = (m−1)2−3(m2−4) = −2m2−2m+13.

Hàm sốluôn đồng biến trên R ⇔y′ ≥0, ∀x ∈R ⇔∆′ ≤0 ⇔−2m2 −2m + 13 ≤0 ⇔



 m ≤−1 −3 √

3 2

m ≥−1 + 3 √

3 2

.

Vậy với m ∈

−∞; −1 −3 √

3 2

#

∪

" −1 + 3 √

3 2 ; +∞

!

thì hàm sốđã cho luôn đồng biến trên R.

Bài tập 1.3. Tìm m đểhàm sốy = −mx3 + (3 −m) x2 −2x + 2 luôn nghịch biến trên R.

Lời giải. Tập xác định: D = R. • Với m = 0, ta có: y = 3x2 −2x + 2 là một parabol nên không thểnghịch biến trên R. • Với m ̸= 0, ta có: y′ = −3mx2 + 2(3 −m)x −2; ∆′ = (3 −m)2 −6m = m2 −12m + 9. Hàm sốluôn nghịch biến trên R ⇔y′ ≤0, ∀x ∈R

⇔ m < 0 m2 −12m + 9 ≤0 ⇔ m < 0 6 −3 √

3 ≤m ≤6 + 3 √

3 ⇔m ∈∅

Vậy không có giá trịnào của m đểhàm sốluôn nghịch biến trên R.

Bài tập 1.4. Tìm m đểhàm sốy = mx −2

m −x luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Lời giải. Tập xác định: D = R\ {m}. Đạo hàm: y′ = m2 −2 (m −x)2 .

Hàm sốluôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔y′ > 0, ∀x ∈D ⇔m2 −2 > 0 ⇔ m ≥ √

2 m ≤− √

2 .

Vậy với m ∈ −∞; − √

2 ∪ √

2; +∞ thì hàm sốđã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Bài tập 1.5. Tìm m đểhàm sốy = mx −2 x + m −3 luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

2

www.MATHVN.com

ThuVienDeThi.com