Chuyên đề một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP

1

Chuyên đề MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN

BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

---------------------------------

PHẦN I

KHÁI QUÁT CHUNG

Bài toán chứng minh thẳng hàng là một dạng toán khá quen thuộc, nhất là

trong các đề thi học sinh giỏi. Nhưng khi gặp dạng toán này, nhiều học sinh tỏ ra

rất lúng túng. Để loại bỏ sự lúng túng ấy, ở chuyên đề sau đây, tôi đã thống kê một

số hướng cơ bản để giúp học sinh tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng, kèm

theo là một số ví dụ minh họa. Sự phân loại các phương pháp trong chuyên đề chỉ

mang tính cá nhân.

Một số hướng tiếp cận cơ bản khi gặp bài toán chứng minh thẳng hàng:

1. Hướng 1: Sử dụng góc bù

2. Hướng 2: Sử dụng tính chất của hình bình hành

3. Hướng 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song

4. Hướng 4: Sử dụng các tính chất của đường tròn

5. Hướng 5: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau

6. Hướng 6: Thêm điểm

7. Hướng 7: Sử dụng định lý Mê-nê-la-uýt

Đối tượng để dạy bồi dưỡng chuyên đề này là các em học sinh khá, giỏi toán

lớp 9, chủ yếu là các học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán 9.

Dự kiến chuyên đề sẽ được bồi dưỡng trong 3 buổi, với thời lượng 9 tiết.

ThuVienDeThi.com

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP

2

PHẦN II

PHƯƠNG PHÁP CỤ THỂ VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

I. Hướng thứ nhất: Sử dụng góc bù

+ Nếu có thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. A A 0 180 ABx xBC   + Tổng quát: Nếu quay xung quanh điểm A các tia AB1, AB2,..., ABn lần lượt theo thứ tự ấy mà thì 3 điểm B1; A; Bn thẳng hàng. A A A 0 1 2 2 3 1 ... 180 n n B AB B AB B AB     

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, đường cao AH. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE ( ABAD = ACAE = 900). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng H, A, M thẳng hàng.

Giải Dựng hình bình hành AEFD  M là trung điểm của AF (t/c hình bình hành) và EF = DA = BA Mặt khác EA = CA (gt); AAEF = ACAB (Cùng bù với ADAE ) EFA = ABC (c-g-c)  A A 1 1 A C  ( Hai góc tương ứng)

Mà A A 2 1 A C  = 900

 A A 1 2 A A  = 900

 A A A 0 1 2 3 180 A A A   

Hay A 0 180 FAH   M, A, H thẳng hàng.

Ví dụ 2

Cho ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC, gọi H là trực tâm ABC. Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.

Giải Gọi B’ là giao điểm của BH và AC;

1

1

2

3

M

F

E

D

H

C B

A

ThuVienDeThi.com

Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trần Văn Quảng – THCS Lý Tự Trọng – BX – VP

3

A’ là giao điểm của AH và BC Tứ giác HA’CB’ nội tiếp  A A A A A 1 ' ' H A CB BCA BMA BEA    

(t/c đối xứng trục)  Tứ giác AHBE nội tiếp A A A EHB EAB MAB   Tương tự ta có: A A A A ' , A HC ABC CHF MAC  

 A A A A A A A A 1 ' EHB H A HC CHF MAB ACB ABC MAC       

= A A A 0 180 ACB ABC BAC     A 0 180 EHF   E, H, F thẳng hàng.

* Đường thẳng đi qua 3 điểm E, H, F nói trên có tên là đường thẳng Steiner ứng với điểm M.

* Việc chứng minh các điểm E, H, F nói trên thẳng hàng cũng được đề cập trong đề thi Olympic Japan 1996:

Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn (ABC). Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, …