Xem trước nội dung
1.Định lí Menelaus cho tứ giác: Đường thẳng d cắt các cạnh AB, BC, CD, DA. ABCD tại M,
N, P, Q . AM BN CP DQ . . . 1 MB NC PD QA Þ a = =
F
E
N
M
P
Q
A
B
C D
Kẻ AF BE CD P P
AM AF MB BE BN BE
AM BN CP DQ AF BE CP DP CN CP . . . . . . 1 dpcm CP CP MB NC PD QA BE CP PD AF PD PD DQ DP QA AF
ìïï = ïïïïïï = ïïï Þ Þ a = = = Þ íïï = ïïïïïï = ïïïî 2. Định lí Carnot: .H , I, K thứ tự nếu x; y; z là đg t với AB, BC, CA qua ABC D AB,BC,CA Î ^ H, I, K thì x; y; z động quy
2 2 2 2 2 2 AH HB BI IC CK KD 0 Û - + - + - =
I
G
A
B C
H K
Thuận: x; y; z đồng quy thì … Ta có:
2 2 2 2 2 2 GA GB GB GC GC GA 0 - + - + - = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 AH GH HB GH BI GI IC GI CK GK KA GK 0
AH HB BI IC CK KD 0 1
Û + - + + + - + + + - + =
Û - + - + - =
Đảo: Kẻ ( )
2 2 2 2 2 2 GI' BC. Theo 1 AH HB BI' I'C CK KD 0 ^ Þ - + - + - =
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Mà AH HB BI IC CK KD 0 BI IC BI' I'C I I' 2 - + - + - = Þ - = - Û º Þ
Từ (1), (2) ta có đpcm
ThuVienDeThi.com
3. Đường tròn Euler: Chân các đg trung tuyến, đg cao, trung đ các đoạn thẳng nối trực tâm với 3 đỉnh là 9 điểm thuộc đg tròn tâm I D
D
O G I
A3 A6
A9
A4
A2
H
A8
A1
A5
A7
A
B C
4. Đường thẳng Euler: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn nội tiếp O của tam giác thẳng hàng. Kẻ đường kính AD của (O) là hình bình hành BHCD Þ
là trung điểm HD trọng tâm G’ của AHD có 4 A Þ Þ 4 2 AG' AA 3 =
Mà thẳng hàng (đpcm) 4 2 AG AA G G' H;G;O 3 = Þ º Þ
5. Định lí con bướm: Cho (O), dây AB, 2 dây CD, EF di động đi qua trung điểm I của AB. DE, CF cắt AB tại M, N. CMR IM = IN
C'
D'
N M
C E
I
O
A B
D
F
Kẻ C’D’ đối xứng với CD qua OI CM tứ giác EC’IM nội tiếp (đpcm) C'MI CNI MI NI Þ D = D Þ = ThuVienDeThi.com
6.Định lí Steiner: nội tiếp (O). K thuộc cung BC nhỏ. M; N; P đối xứng với K qua BC, ABC D AB, CA. CMR M; N; P thẳng hàng.
I
K
H
P
N
M
O
A
B C
K
7. Định lí Newton: Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) tại E; F; G; H. Khi đó HG, AC, EF đồng quy
K
I
M B
A
C D
O H
G
F
E
Giả sử . Áp dụng định lí Menelaus cho và MEF { } AC EF M Ç = ABC D
( ) ( )
( )
AE BF CM AE CM AH CM . . 1 . 1 do EB BF . 1 do AE AH;CF CG EB FC MA FC MA GC MA AH DG CM . . 1 do DH DG DH GC MA
Þ = Û = = Û = = =
Û = =
Áp dụng định lí Menelaus đảo cho thẳng hàng hay HG, AC, EF đồng quy ADC C;A;M D Þ 8. Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) tại E; F; G; H. Khi đó EG, AC, HF, BD đồng quy Đặt { } AC EG I Ç =
Kẻ · · · ( )
AI AK AE AI AE AK DC AKE AEK DGE AE AK hay IC CG CG IC CG Þ = = Þ = Þ = = = P
Đặt . CMTT { } AC FH I' Ç = AI' AH I'C CF Þ =
Mà AH=AE; CG=CF đồng quy AI AI' I I' AC;HF;EG IC I'C Þ = Þ º Þ
CMTT ta có đpcm. ThuVienDeThi.com
9. Định lí Desargues: Nếu có AA’; BB’; CC’ đồng quy; ABC; A 'B'C' D D { } AB A 'B' P ; Ç =
thì P; Q; R thẳng hàng { } { } BC B'C' Q ;CA C' A ' R Ç = Ç =
R P
Q
B C
O
A'
B'
C' A
Để Q; P; R thẳng hàng thì (Menelaus cho ) AP BQ CR . . 1 PB QC RA = ABCvà QPR D
Menelaus cho ( ) OB' BQ CC' OB' CC' AP CR OBCvà QB'C' . . 1 ta CM . . 1 B'B QC C'O B'B C'O PB RA D Þ = Þ =
Thật vậy: Áp dụng định lí Menelaus cho:
( )
AP BB' OA ' AR CC' OA ' ABO;B'PA ' và ACO;C'RA ' . . . . 1 PB B'O A ' A RC C'O A ' A AP BB' AR CC' AP RC CC' B'O . . . . 1 duoc CM PB B'O RC C'O PB AR C'O BB'
D D Þ = =
Û = Û = Þ
Hay P; Q; R thẳng hàng (đpcm). 10. Định lí Pascal: Lục giác ACEBFD nội tiếp có giao điểm các cặp cạnh đối thẳng hàng
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
