Lý thuyết Số chính phương

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

DẠNG 1: Chứng minh một số là số Chính phương

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.

HD: Phân tích : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4

Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì 

A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 nên A là SCP

Bài 1.1 Cho A = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + (yz)2; chứng minh A là SCP với x, y, z là STN

Ta có: A = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + (yz)2

= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + (yz)2 (đặt a = x2 + xy + xz)

= 4a(a + yz) + (yz)2

= 4a2 + 4a.yz + (yz)2

= (2a + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

vì z, y, x là số tự nhiên nên

2x2 + 2xy + 2xz + yz tự nhiên A là số chính phương

Bài 2. Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

HD: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). 

Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 

= (n2 + 3n + 1)2

Bài 3. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số

chính phương

HD: Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ). 

Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.(n2 + 2)

Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thẻ chia hết cho 5

5.(n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương 

Bài 4. a) Cho x là tổng của 2 số chính phương, chứng minh 2x cũng là tổng của 2 số

chính phương?

HD: x = a2 + b2  2x = 2a2 + 2b2 = (a + b)2 + (a – b)2 => Đpcm

b) Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. a2.(a + 1)2 + 2a2 + 1= a4 + 2a3 + a2 + 2a2 + 1 = a4 + 2a3 + 3a2 + 2a + 1

Bài 5. Chứng minh rằng số có dạng n2 + n + 1 trong đó n N không phải là số chính phương 

HD: Ta có: n2 < n2 + n + 1 < n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

Mà n2 và (n + 1)2 là hai SCP liên tiếp nên n2 + n + 1 khong phải là SCP

ThuVienDeThi.com

Bài 5.1 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: x(x + 1) = y(y + 2)

HD:  x2 + x + 1 = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2

Nhưng x2 < x2 + x + 1 < x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

Từ (1) và (2) ta có: x2 < (y + 1)2 < (x + 1)2 Mà x2 và (x + 1)2 là hai SCP liên tiếp nên (y + 1)2 không

phải là SCP => Không có x, y thỏa mãn

Bài 5.2 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: y3 = x3 + 2x + 1

HD: Ta có: x3 < x3 + 2x + 1< x3 + 3x2 + 3x + 1

x3 < y3 < (x + 1)3 (không có giá trị x,y nguyên nào thỏa mãn)

Bài 5.3 Chứng minh biểu thức sau không là lập phương của 1 số:10150+5.1050+1

HD: Ta có: 10150<10150+5.1050+1<(1050)3+3(1050)2+3.1050+1

Hay: (1050)3<10150+5.1050+1<(1050+1)3

→10150+5.1050+1 không là lập phương của một số tự nhiên

Bài 6. Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n>1 không phải là số 

chính phương

HD: n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]

= n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[(n3 + 1) – (n2-1)]

= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)

Với n N, n >1 thì n2 - 2n + 2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2 

và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2

Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương. 

Bài 7. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính

phương.

HD: Gọi 2 số lẻ đó là a, b. Vì a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N) 

a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 

= 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t N) 

Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t N) do đó a2 + b2 không thể là số chính 

phương.

Bài 8. a) cho m, n là các số thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n.

Chứng minh rằng: (m - n); (4m + 4n + 1) đều là số chính phương

HD: Xét (m − n)(4m + 4n + 1) = 4m2 + m − 4n2 − n

= 4m2 + m − 3m2 − m = m2 (do 3m2 + m = 4n2 + n)

(m − n)(4m + 4n + 1) = m2 là số chính phương

Dễ dàng cm được m − n và 4m + 4n + 1 nguyên tố cùng nhau

m − n và 4m + 4n + 1 đều là …