Một số bài Toán có liên quan đến góc và khoảng cách

Trang 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

I. LIÊN QUAN ĐẾN GÓC .

(5 BÀI ) Bài 1 ( KA-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.

2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biÕt 1 os 6 c 

GIẢI a/ Tính h( A’C,MN).

- Ta có :     1 ' 1;1;1 , 0;1;0 , ' ;0;1 2 A C MN MA         

  

- Do đó :

1 1 1 1 1 1 1 1 3 ' , ' 0. 1 1 1 0 0 0 0 1 2 2 2 A C MN MA          

- Vậy :  

3 ' , ' 3 2 ' ,

1 0 1 2 2 ' ,

A C MN MA h A C MN

A C MN

            





b/ Lập mặt phẳng (P) chứa A’C . - Gọi (P) : ax+by+cz+d=0 (1) - Do đi qua (A’C) cho nên : Qua A’(0;0;1) suy ra : c+d=0 (2). Suy ra c=-d = a+b . (P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy ra : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*) - Mặt phẳng (P) có : , mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến là . Do đó ta có :   ; ; n a b c     0;0;1 k 



(4)  

2 2 2 2

2 2 2 . 2 1 os 6 2a 6 .

n k a b a b c a b a b c b n k a b c                





- Với : a=-2b, chọn b=-1, ta được (P) : 2x-y+z-1=0 - Với b=-2a , thì chọn a=1 , ta được (P) : x-2y-z+1=0 . Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) và mp(P): x + 2y + z

3= 0 . Viết phương trình mp(Q) chứa AB và tạo với mp(P) một góc  thỏa mãn: 3 cos 6 

GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0 . (Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) và (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 .(2) - Mặt phẳng (P) có . Suy ra   1;2;1 n  

(3)     2 2 2 2

2 2 2 . 2 3 os 6 2 3 6 . 1 4 1

Q

Q

P

P

n n a b c c a b c a b c n n a b c                





- Từ (1) và (2) ta có : . 2 3 0 2a 6 0 4a a b c d c a b b c d d b                   

Z

A

B

C

D ’

B’ C’

D’ A’

M

N

ThuVienDeThi.com

Trang 2

- Thay vào (3) :

    2 2 2 2 2 2 4 3 , 15 6 2a 3 3 3a 11a 8 0 0, 3 a b c b d b b a b a b b b a b c d b                         - Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 và (Q’): -x+y-3=0 . Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) và đường thẳng (d):

. Viết phương trình đường thẳng () đi qua giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng 3 1 1 1 2 x y z     

(OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc  sao cho . 5 cos 6 

GIẢI

- Ta có :       1 1 1 2 2 1 2; 1;1 , 0;1; 2 , ; ; 1;4;2 1 2 2 0 0 1 OA OB OA OB n                    

   

- Do đó : mp(OAB): x+4y+2z=0 (1) . Gọi M là giao của d với (OAB) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ :

 

4 2z

4(3 ) 2(2 1) 0 10 10;13; 21 3

1 2

x y x t t t t t M y t z t

                   

- Vì          , , . 0 4 2 0 2 ; ; P OAB d n u a b c u a b c              

- Do đó :    2 2 2 2 2 2 . 2 2 5 os , 4 6 1 1 4 6

d P

d P

d P

u n a b c a b c c u n

u n a b c a b c

            

 



- Suy ra :     2 2 2 2 2 2

5 6 5 25 4 2 11 16 5 0 11 b c b b c b c b bc c

b c

                  

- Với  

10 2 5 2 2 5 ; ; / / 2; 5; 11 : 13 5 11 11 11 11 21 11

d

x t b c a c u c c c u y t z t

                        

 

- Với b=c, thay vào (2) ta có a=-6c    

10 6 6 ; ; / / ' 6; 1; 1 : 13

21

x t u c c c u y t z t



              

 

Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A(0;1;2), vuông góc

với đường thẳng và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y  z +5 = 0 một góc 300. 3 2 ( ) : 1 1 1 x y z d + - = = -

GIẢI * Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương , đường thẳng  có véc tơ chỉ phương .   1; 1;1 u      ; ; u a b c  

Mặt phẳng (P) có .Gọi …