Hai mươi bài toán giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 1

VỀ HAI MƯƠI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

Tôn Thất Hiệp, GV THPT Phan Đăng Lưu, Phú Vang, Thừa Thiên Huế.

Đi cùng với lời giải của hai mươi bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài viết này, chúng tôi đề xuất thêm một số bài toán mới, đồng thời mỗi bài đề xuất đều có đáp số và lời giải chi tiết ở đằng sau bài viết. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một số kỹ thuật phân tích bình phương; kỹ thuật biến đổi biểu thức hai biến, ba biến; tư tưởng hàm số trong một số lời giải bài toán bất đẳng thức.

Bài toán 1:

Cho x là số thực. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của

( )

( ) ( )

2

2 2

3 2 2 1 1 1 3 2 3 3 3 2 3 3 3

x x P x x x x

+ + = + + + + + + − +

(Câu 10, đề minh họa môn

toán của Bộ GD & ĐT năm 2015) Cách giải 1: Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Cauchy cho hai số dương ta có:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 1 1 2 3 3 3 2 3 3 3 . 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 x x x x x x x x

        + + + + + − + + ≥       + + + + − +    

.

Suy ra

( ) ( )

2 2 2 2 1 1 2 2 2

4 6 6 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 x x x x x x x x + ≥ = + + + + + + + + − + , đẳng thức xảy

ra khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 0 x x x x x + + + = + − + ⇔ = . Suy ra

( ) 2

2 3 2 2 1 2 ( ), 3 2 3 3

x x P f x x x x

+ + ≥ + = ∈ + +

ℝ.

1) Ta tìm các hằng số m, n, p và điều kiện của x sao cho www.mathvn.com

2 2 3(2 2 1) 2 3 3 3 3

m x x p n x x + + + ≥ + + (1), đồng thời đẳng thức xảy ra khi x = 0 là nghiệm kép.

Và ta tìm được m = 1 thì p = 1 và 2 3 n = . Lúc này, (1) trở thành

( )

2 2 2 2 3(2 2 1) 1 2 2 3 3 6 12 0 3 21 3 21 3 3 3

x x x x x x x x x + + + ≥ + + ⇔ + − ≤ ⇔−− ≤ ≤−+ .

Suy ra 2

2 2 2 1 4 1 ( ) 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 f x x x x x ≥ + + + − ≥ − = + + , (Áp dụng BĐT Cauchy

cho hai số dương), suy ra 3, 3 21 ; 3 21 P x x   ≥ ∀∈−− −+   (2), đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi x = 0.

2) Với 1 3 21 2 x − < −− < thì

( ) ( )

2

2 3 2 3 21 2 3 21 1 3(2 2 1) 165 30 21 5,7 3 3 3 3 x x   −− + −− +   + + +   > = > >

ThuVienDeThi.com

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 2

, suy ra 3 P > (3).

3) Với 1 3 21 2 x > −+ > − thì

( ) ( )

2 3 2 3 21 2 3 21 1 165 30 21 1,74 3 3 3

  −+ + −+ +   −  > > > , suy ra 3 P > (4).

Từ (2), (3) và (4) suy ra 3, P x ≥ ∀∈ℝ, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.

VậyminP= 3 . Cách giải 2: Theo chứng minh của cách 1, ta có:

( ) ( )

2 2 2 1 1 2 2

4 6 6 2 3 3 3 2 3 3 3 x x x x x x + ≥

+ + + + + + − + Mặt khác

2 2 3(2 2 1) 4 6 3 x x x x + + ≥ + + , suy ra

2

2 4 6 3 2 2 3 4 6 6

x x P x x

+ + ≥ +

+ +

.

Đặt

2 2 3 15 15 4 6 6 4 4 4 4 u x x x   = + + = + + ≥     , ta có

2

2 4 6 3 2 2 3 2 2 ( ) 3 3 4 6 6

x x u f u u x x

+ + − + = + = + + , với 15

4 u ≥ , suy ra

( )( )

( ) ( )

2 6 6 36 1 2 ( ) 6 3 6 3 6 2 3

u u u f u u u u u u u u u u

− + − ′ = − =   − − + −  

, 15 ( ) 0 6 ; 4 f u u   ′ = ⇔ = ∈ +∞  

. Lập

bảng biến thiên (BBT) hàm số f(u), ta suy ra 15 ( ) (6) 3, ; 4 f u f u   ≥ = ∀∈ +∞  

, suy ra 3 P ≥ ,

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy minP = 3 . Cách giải 3: www.mathvn.com

Đặt ( ) 2 2 3 3 3 a x x = + − + , ( ) 2 2 3 3 3 b x x = + + + , ta có

2 2 3 2 6 3 3 2 4 2 2 a x     − + = + +            

và

2 2 3 2 6 3 3 2 4 2 2 b x     + − = + +            

.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hai véc tơ 3 2 6 3 3 2 ; 4 2 2 u x   − + = − −      

,

3 2 6 3 3 2 ; 4 2 2 v x   + − = +      

thì

2 2 6 3 3 3 3 6 2 2 2 2 2 a b u v u v     + − + = + ≥ + = + + =            

.

ThuVienDeThi.com