Giá trị lượng giác của một góc đặc biệt

Lí thuyết

Ở lớp 9, chúng ta đã biết các tỉ số lượng giác: sin, côsin, tang, côtang của một góc nhọn α và kí hiệu là sinα,cosα,tanα và cotα. Ở bài này, chúng ta sẽ thấy rằng, các tỉ số lượng giác đó không chỉ áp dụng cho các góc nhọn (0° < α < 90°) mà nó còn được mở rộng để áp dụng cho các góc tù (90° < α < 180°). Vậy thì, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn và các tỉ số lượng giác của một góc tù có gì giống và khác nhau?

Hoạt động 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b, BC = a và góc nhọn . Tính sinα,cosα,tanα và cotα.

Hình 2.2

Trên hình 2.2 có một hệ tọa độ Oxy và một nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1, nằm phía trên trục hoành. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị.

ThuVienDeThi.com

Nếu cho trước một góc nhọn α thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

Hoạt động 2

Giả sử (xM;yM) là tọa độ của điểm M (hình 2.2). Hãy chứng tỏ rằng:

Bây giờ chúng ta mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc α bất kì (0° đến 180°). Ta có định nghĩa sau đây:

Định nghĩa

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho Giả sử điểm M có tọa độ (xM;yM). Khi đó:

Tung độ yM của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.

Hoành độ xM của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.

Tỉ số (với xM ≠ 0) gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.

Tỉ số (với yM ≠ 0) gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.

Các số sinα,cosα,tanα và cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

ThuVienDeThi.com

Như vậy,

VÍ DỤ 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.

Lời giải

Ta lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

.

Khi đó hiển nhiên .

Từ đó suy ra tọa độ của điểm M là:

Vậy

ThuVienDeThi.com

Hoạt động 3

Xác định tọa độ của điểm M trong hình 2.2, từ đó tìm các giá trị lượng giác của góc α khi:

a) α = 0°; b) α = 90°; c) α = 180°.

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bằng cách tính như trên, ta có thể tính được các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà ta cần ghi nhớ: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° và 180° (Các giá trị lượng giác này cũng có thể tìm thấy trong bảng số hoặc bằng máy tính bỏ túi).

Kết quả được cho trong bảng dưới đây.

Góc

sin

cos

tan 0 1 -1 0

cot 1 0 -1

Trong bảng, kí hiệu " " để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Dấu của các giá trị lượng giác

ThuVienDeThi.com

Chúng ta đã biết, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn dương. Tuy nhiên, điều đó sẽ không còn đúng cho trường hợp của góc tù. Tại sao lại như vậy?

Xét hình 2.2, khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn thì dễ thấy rằng:

hay

hay

Từ đó, ta có bảng sau đây về dấu của các tỉ số lượng giác:

Như vậy, sin của góc tù luôn dương còn côsin, tang, côtang của góc tù luôn âm.

Hoạt Điền dấu "x" vào ô vuông thích hợp.

ThuVienDeThi.com

động 4

a) Đúng Sai

b) Đúng Sai

c) Đúng Sai

d) Đúng Sai

e) Đúng Sai

Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Chúng ta đã biết mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Liệu có một quan hệ tương tự, cho các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau?

Hoạt động 5

Lấy hai điểm M và M' trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MM' // Ox.

a) Tính tổng số đo của hai góc và

b) Hãy cho biết các cặp giá trị lượng giác nào của hai góc α

ThuVienDeThi.com