Toán tuổi thơ - Trường THCS Nghĩa Thắng

Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán tuổi thơ Tên : Trương Quang An

Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776

Bài 1: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn phương trình sau : (1) 2 2 3 ( )( ) 2( ) x y y x x y     Bài làm

Nếu thì và ngược lại .Ta xét nguyên dương .Từ (1) suy ra . 0 x  0 y  ,x y x y 

Ta biến đổi (1) :

2 2 3 ( )( ) 2( ) x y y x x y     2 2 3 4( )( ) 8( ) x y y x x y     

. 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) 8( ) x y y x x y y x x y          

Mà nên ta được : 2 2 2 ( )( 1) x y y x x y x y       

. 2 2 2 2 ( ) 8( ) ( 1) x y y x x y x y x y             

Do đó : là số chính phương . 2 8( ) ( 1) x y x y    

Ta có : (2) . 2 2 2 ( 1) 8( ) ( 1) ( 3) x y x y x y x y          

Mặt khác từ (1) suy ra cùng tính chẵn lẻ . ,x y

Kết hợp với (2) và là số chính phương suy ra 2 8( ) ( 1) x y x y    

2 2 8( ) ( 1) ( 1) x y x y x y       

. 3 x y  

Khi đó ta có .Và ,mâu thuẫn với (1).Vậy 2 2 3 3 ( )( ) 27 x y y x x y     3 3 2( ) 16 x y y   phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( ; ) (0;0) x y 

ThuVienDeThi.com

Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ Tên : Trương Quang An

Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776

Bài 2:Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương ( ; ; ) x y z thỏa mãn

5 1 2 x y z y z x     Bài làm

Giả sử ( ; ; ) x y z là một nghiệm của phương trình. Khi đó, theo bất đẳng thức AM- GM

5 1 1 1 3 · 3 2 1 1 x y z x y z x y z x y z x           

Suy ra 1 1 2 x  hay 2 x 

Với 2: x  Khi đó trong bất đẳng thức trên phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là

1 1 x y z y z x    

Giải hệ, thu được ( ; ; ) (2;2;1) x y z 

Với 1 x  phương trình đã cho trở thành 1 5 (1) 1 2 y z y z    

Khi đó 1 5 2 1 2 y z z z y z       

Với thay vào (1), thu được 1, z  2 3 2 0 1 2 y y y y      

Với thay vào (1), thu được Phương trình này có biệt thức 2, z  2 2 3 6 0. y y    nên không có nghiệm, do đó không có nghiệm nguyên 2 ( 3) 4 2 6 39 0     dương.

Vậy nghiệm của phương trình là .      ; ; 2;2;1 , 1;1;1 , 1;2;1 x y z 

ThuVienDeThi.com

Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán học tuổi thơ Tên : Trương Quang An

Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776

Bài 3: Một vòng tròn được chia thành k cung, được đánh số từ 1 đến k như trong hình vẽ. Ban đầu tại mỗi cung đặt một viên bi. Mỗi lần dịch chuyển, người ta dịch chuyển hai viên bi, một viên theo chiều cùng chiều kim đồng hồ, một viên theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, vào cung kề với cung chứa nó (hai viên bi được dịch chuyển không nhất thiết phải từ cùng một cung). Hỏi sau hữu hạn bước như vậy, có đưa được tất cả các viên bi về cùng một cung hay không?

Bài làm Ta đánh số (gán nhãn) cho các viên bi như sau: viên bi ở cung thứ i được gán nhãn i. Gọi S là tổng các nhãn theo mod k . Khi đó, nếu sau một số bước dịch chuyển, tất cả các viên bi được chuyển về cùng một cung, chẳng hạn cung thứ n, thì

  0 mod S nk k  

Nhận xét. Sau mỗi lần dịch chuyển, S bất biến theo mod k bởi vì một nhãn tăng 1, một nhãn giảm 1, các nhãn còn lại giữ nguyên.

Suy ra ( 1) 1 2 2 k k k S k       . Điều này xảy ra khi và chỉ khi k lẻ.

Vậy, ssau một số bước chuyển, tất cả các vien bi được chuyển về cùng một cung khi và chỉ khi k lẻ.

Ta sẽ chỉ ra cách chuyển, với 2 1 k n   sau một số hữu hạn bước chuyển các viên bi được đưa về cùng một cung:

- Chuyển viên bi ở cung 1 theo cùng chiều kim đồng hồ và viên bi ở cung

2 1 n  theo ngược chiều kim đồng hồ; cho đến khi chúng cùng về đến cung thứ 1. n  - Lặp lại quá trình trên cho cung thứ i và cung thứ 2 2 ( 2,3, ). n i i     Cứ như vậy, tất cả các viên bi đều được chuyển về cung thứ 1. n 

k

3

2

1

ThuVienDeThi.com