Ôn tập Đại số 10 - Chương IV Bất đẳng thức và bất phương trình

Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng

www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 30

1. Tính chất

2. Một số bất đẳng thức thông dụng

a) a a 2 0,  . a b ab 2 2 2   . b) Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b  0, ta có: a b ab 2   . Dấu "=" xảy ra  a = b.

+ Với a, b, c  0, ta có: a b c abc 3 3    . Dấu "=" xảy ra  a = b = c.

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y. – Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất  x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + a b c a b     ; b c a b c    ; c a b c a    . e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki

Với a, b, x, y  R, ta có: ax by a b x y 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )     . Dấu "=" xảy ra  ay = bx.

CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. BẤT ĐẲNG THỨC

Điều kiện Nội dung a < b  a + c < b + c (1) c > 0 a < b  ac < bc (2a) c < 0 a < b  ac > bc (2b) a < b và c < d  a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b và c < d  ac < bd (4)

n nguyên dương a < b  a2n+1 < b2n+1 (5a) 0 < a < b  a2n < b2n (5b)

a > 0 a < b  a b  (6a)

a < b  3 3 a b  (6b)

Điều kiện Nội dung x x x x x 0, ,   

a > 0

x a a x a    

x a x a x a    

a b a b a b     

ThuVienDeThi.com

Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình

www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 31

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản  Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.  Một số BĐT thường dùng:

+ A2 0  + A B 2 2 0   + A B . 0  với A, B  0. + A B AB 2 2 2   Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài 1. Cho a, b, c, d, e  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b c ab bc ca 2 2 2      b) a b ab a b 2 2 1    

c) a b c a b c 2 2 2 3 2( )       d) a b c ab bc ca 2 2 2 2( )     

e) a b c a ab a c 4 4 2 2 1 2 ( 1)     f) a b c ab ac bc 2

2 2 2 4     

g) a b b c c a abc 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6       h) a b c d e a b c d e 2 2 2 2 2 ( )       

i) a b c ab bc ca

1 1 1 1 1 1      với a, b, c > 0

k) a b c ab bc ca     với a, b, c  0

HD: a)  a b b c c a 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0       b)  a b a b 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 0      

c)  a b c 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0       d)  a b c 2 ( ) 0   

e)  a b a c a 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 1) 0       f)  a b c

2 ( ) 0 2         

g)  a bc b ca c ab 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0      

h) a a a a b c d e

2 2 2 2

0 2 2 2 2                                

i) 

a b b c c a

2 2 2 1 1 1 1 1 1 0                        

k)        a b b c c a 2 2 2

0      

Bài 2. Cho a, b, c  R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b a b

3 3 3

2 2        

; với a, b  0 b) a b a b ab 4 4 3 3   

c) a a 4 3 4   d) a b c abc 3 3 3 3    , với a, b, c > 0.

e) a b a b

b a

6 6 4 4

2 2    ; với a, b  0. f) ab a b 2 2 1 1 2 1 1 1    

; với ab  1.

g) a

a

2

2

3 2 2

  

h) a b a b a b a b 5 5 4 4 2 2 ( )( ) ( )( )      ; với ab > 0.

HD: a)  a b a b 2 3( )( ) 0 8    b)  a b a b 3 3 ( )( ) 0   

ThuVienDeThi.com