Chuyên đề Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400

Vấn đề 1: Bất đẳng thức Cauchy

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

BĐT cauchy cho hai số không âm a và b: ab b a   2 , dấu bằng xảy ra khi a = b

BĐT cauchy cho ba số không âm a , b, c: abc c b a   

3 , dấu bằng xảy ra khi a = b = c

BĐT cauchy tổng quát: Cho a1, a2,..., an  0 ta luôn có:

n

n n a a a n

a a a ... ...

2 1 2 1     . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an

Một số bất đẳng thức phụ suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

i) 1 1 4 ( , 0) a b a b a b    

ii) 1 1 1 9 ( , , 0) a b c a b c a b c      

B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

1. Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức cosi

Ví dụ 1: CMR với mọi ta có: 12 15 20 3 4 5 5 4 3

x x x

x x x                       

Luyện tập:

1) Cho các số dương x, y, z thoả mãn 1 xyz . Chứng minh rằng :

2) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng :

ThuVienDeThi.com

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400

2. Kỹ thuật tách số mũ

Ví dụ 2:

a) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a3 + b3 + c3  a2b + b2c +c2a

b) Cho 1 0  x . CMR 3 27 (1 ) 256 x x  

Luyện tập:

3) Chứng minh rằng với mọi a, b,c không âm ta có: a4 + b4 + c4  abc( a +b + c)

4) Cho a, b dương. Chứng minh rằng : 3 3 2 3 7 9 a b ab   5) minh rằng với mọi số dương a b, c ta luôn có

3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc         

3. Kỹ thuật tách thêm bớt

Ví dụ 3: Cho 0 , ,  c b a sao cho 3    c b a . CMR

a) 3 3 3 3    c b a

b) 3 3 3 4 4 4 c b a c b a     

Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số dương và 1. x y z   

CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82. x y z x y z      

Luyện tập:

6 ) Cho x, y, z dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

7) Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

ThuVienDeThi.com

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFLY Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội Tel: 04 62 927 623 Hotline: 0987 708 400

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400

8) Cho , 0. a b  Chứng minh rằng: 1 3. ( ) a b a b   

9) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 4 ( , 0). P xy x y x y xy     

4. Áp dụng các bất đẳng thức phụ

Ví dụ 5: Cho x, ,y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 x y z    . CMR

Luyện tập

10) Chứng minh rằng với mọi 0 x  và với mọi 0  ta luôn có 1 . x x     

Từ đó chứng minh rằng với ba số dương a,b,c bất kì thì:

3 3 3

3 3 3 . a b c a b c b c a b c a     

11) Chứng minh rằng ( , , 0). 2 ab bc ca a b c a b c a b b c c a

        

C. BÀI TẬP TỔNG HỢP

12) Chứng minh rằng 3 2 4 3 5 ( , , 0) x y z xz yz xy x y z       

13) Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng

14) Cho x, y, z > 0 thoả mãn 3. x y z    Chứng minh:

15) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 1 1 1 2. 1 1 1 a b c       Chứng minh: 1 8 abc 

ThuVienDeThi.com