Một số bài toán về đa thức một biến

Đa thức một biến

MỘT SỐBÀI TOÁN VỀĐA THỨC MỘT BIẾN

Ví dụ1. Cho hai đa thức P (x) và Q (x) đều có nghiệm thực và thỏa mãn

P ¡ 1+ x+Q(x)2¢ = Q ¡ 1+ x+ P(x)2¢ .

Chứng minh rằng P(x) ≡Q(x).

Đểso sánh đồng nhất thức, ta dựa vào định nghĩa sau: Hai đa thức

f (x) = m X

k=0 akxk, g(x) = n X

k=0 bkxk

bằng nhau khi và chỉkhi m = n và ai = bi với mọi i = 0,n. Ngoài ra ta còn dùng định lí vềsốnghiệm của đa thức đểchứng minh hai đa thức bằng nhau. Cụthể:

Cho hai đa thức P,Q ∈R[x] có n = max{deg(P),deg(Q)}. Nếu đa thức P(x)−Q(x) có ít nhất n+1 nghiệm phân biệt thì P(x) = Q(x) với mọi x.

Lời giải. Ta chứng minh tồn tại α đểP (α) = Q (α). Gọi a,b lần lượt là nghiệm P (x) và Q (x). Ta có

P(a)2 −Q(a)2 < 0 < P(b)2 −Q(b)2.

Mà P(x)2 −Q(x)2 là hàm liên tục nên tồn tại c sao cho P(c)2 = Q(c)2. Đặt α = 1+ c +Q(c)2 = 1+ c + P(c)2 thì ta có P (α) = Q (α). Xét dãy (xn) : x0 = α,xn+1 = 1 + xn + Q(xn)2, ta có dãy (xn) là dãy tăng thực sựvà đều là nghiệm của phương trình P (x) = Q (x). Suy ra P ≡Q.

Ví dụ2. Xác định đa thức hệsốthực P (x) thỏa mãn

P ¡ (x+1)2016¢ = (P(x)+3x+1)2016 −(x+1)2016 và P (0) = 0.

Lời giải. Dễthấy P (x) không là đa thức hằng. Đặt Q (x) = P (x)+ x, ta có

Q ¡ (x+1)2016¢ = (Q (x)+2x+1)2016.

Xét dãy số(xn) :

( x0 = Q(0) = 0

xn+1 = (1+ xn)2016.

Ta có

Q (x1) = Q ¡ (1+ x0)2016¢ = (Q(x0)+2x0 +1)2016 = 1 = x2 1.

GiảsửQ (xn) = x2 n, ta có

Q (xn+1) = Q ¡ (xn +1)2016¢ = (Q(xn)+2xn +1)2016 = ¡ x2 n +2xn +1 ¢2016 = £ (xn +1)2016¤2 = x2 n+1.

Do đó Q (xn) = x2 n với mọi n = 1,2,... Mà dãy (xn) là dãy tăng thực sựnên ta có Q (x) ≡x2. Vậy P (x) = x2 −x.

Ths Nguyễn Tất Thu-GV Trường Chuyên Lương ThếVinh 1 ThuVienDeThi.com

Đa thức một biến

Ví dụ3. Cho hai đa thức P (x),Q (x) có hệsốcao nhất bằng 1 và thỏa mãn

P (P(x)) = Q (Q(x)).

Chứng minh rằng P(x) ≡Q(x).

Lời giải. Đặt R (x) = P (x)−Q (x), gia sửdeg(R) = k, 0 < k ≤n−1. Ta có

P (P(x))−Q (Q(x)) = P (P(x))−Q (P(x))+Q (P(x))−Q (Q(x)) = Q (P(x))−Q (Q(x))+ R (P(x)) (1).

Giảsửdeg(P) = deg(Q) = n, deg(R) = k,0 < k ≤n−1 và

Q (x) = xn + an−1xn−1 +...+ a1x+ a0.

Khi đó

Q (P(x))−Q (Q(x)) = P(x)n −Q(x)n + n−1 X

i=1 ai h P(x)i −Q(x)ii (2).

Vì

P(x)n −Q(x)n = R (x)

à n−1 X

i=0 P(x)i.Q(x)n−1−i !

nên đa thức Q (P(x))−Q (Q(x)) có bậc bằng n2 −n+ k. Mặt khác đa thức R (P(x)) có bậc nk và nk ≤n2 −n + k nên vếtrái của (1) có bậc bằng

n2 −n+ k. Nhưng vếphải của (1) là đa thức không. Điều này dẫn tới mâu thuẫn. Do đó deg(R) = 0 hay R (x) = c. Khi đó P (x) = Q (x)+ c nên P (P(x)) = Q (Q(x)) trởthành

Q (Q(x)+ c)+ c = Q (Q(x)).

Suy ra tồn tại vô sốgiá trịcủa y để: Q (y+ c)+ c = Q (y) hay Q (x+ c)+ c = Q (x) với mọi x. Từđây, suy ra c = 0 hay R (x) = 0 ∀x. Vậy P (x) ≡Q (x).

Bài tập 1. (T9/411) Cho hai đa thức hệsốthực P (x) và Q (x) thỏa mãn

P ¡ 1+ x+Q(x)+Q2(x) ¢ = Q ¡ 1+ x+ P(x)+ P2(x) ¢ , ∀x ∈R.

Chứng minh rằng nếu phương trình P (x) = Q (x) có nghiệm thì P (x) ≡Q (x).

Ví dụ4. Cho đa thức hệsốthực P (x) thỏa mãn P (sinx) = P (cosx) với mọi x. Chứng minh rằng tồn tại đa thức Q (x) hệsốthực sao cho

P (x) = Q ¡ x4 −x2¢ .

Các phương pháp thương sửdụng trong bài toán chứng minh tồn tại

Ths Nguyễn Tất Thu-GV Trường Chuyên Lương ThếVinh 2 ThuVienDeThi.com