Ôn tập Hình học 10 - Vectơ - Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Vectơ

Trang 1

CHƯƠNG I VECTƠ

I. VECTƠ

1. Các định nghĩa

 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là . AB 

 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu . AB 

 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu . 0 

 Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.  Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.  Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu để biểu diễn vectơ. a b , ,...  

+ Qui ước: Vectơ cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 0 

Mọi vectơ đều bằng nhau. 0 

2. Các phép toán trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: . AB BC AC     

 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: . AB AD AC     

 Tính chất: ; ; a b b a            a b c a b c            a a 0     

b) Hiệu của hai vectơ  Vectơ đối của là vectơ sao cho . Kí hiệu vectơ đối của là . a b



a b 0      a a 

 Vectơ đối của là . 0 

0 

 .   a b a b       

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: . OB OA AB     

c) Tích của một vectơ với một số  Cho vectơ và số k  R. là một vectơ được xác định như sau: a ka

+ cùng hướng với nếu k  0, ngược hướng với nếu k < 0. ka a ka a

+ . ka k a .   

 Tính chất: ; ;   k a b ka kb        k l a ka la ( )        k la kl a ( )   

 k = 0 hoặc . ka 0 

  a 0 

 

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:   a vaø b a cuøng phöông k R b ka 0 :         

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: . AB kAC   

 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương và tuỳ ý. Khi đó ! m, n  R: . a b ,

  x x ma nb  

  

Chú ý:  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB   (O tuỳ ý). MA MB 0     

OA OB OM 2     

 Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ABC   (O tuỳ ý). GA GB GC 0       

OA OB OC OG 3       

ThuVienDeThi.com

Vectơ Trần Sĩ Tùng

Trang 2

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ

Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác ) có điểm đầu và 0 

điểm cuối là các điểm A, B, C, D ? Baøi 2. Cho ABC có A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a) Chứng minh: . BC C A A B        

b) Tìm các vectơ bằng . B C C A ,   

Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh: . MP QN MQ PN ;      

Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:

a) . AC BA AD AB AD AC ;         

b) Nếu thì ABCD là hình chữ nhật. AB AD CB CD       

Baøi 5. Cho hai véc tơ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: . a b ,

  a b a b       

Baøi 6. Cho ABC đều cạnh a. Tính . AB AC AB AC ;      

Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính . AB AC AD     

Baøi 8. Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ . HA HB HC , , 

Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ , AB AD   

AB AC   

, . AB AD   

Baøi 10.

a)

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. – Tính chất của các hình.

Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:

a) b) . AB DC AC DB       

AD BE CF AE BF CD           …