Chuyên đề về lũy thừa số hữu tỉ

1

CHUYÊN ĐỀ VỀ LŨY THỪA SỐ HỮU TỈ

1. CƠ Sở Lý THUYếT

a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên

an = (n  N*)    a a a ......... .

n thừa số

b. Một số tính chất :

Với a, b, m, n  N

am. an = am+n, am. an . ap = am+n+p (p  N)

am : an = am-n (a ≠ 0, m > n)

(a.b)m = am. bm (m ≠ 0)

(am)n = am.n (m,n ≠ 0)

Quy ước:

a1 = a

a0 = 1 (a ≠ 0)

 Với : x, y  Q; m, n  N; a, b  Z

xn = (x  N*)    x x x ......... .

n thừa số

(b ≠ 0, n ≠ 0) n

n n

b a b a       

xo = 1

xm . xn = xm+n

(x ≠ 0) n m n

m

x x x  

x-n = (x ≠ 0) n x

1

(xm)n = xm.n

(x.y)m = xm. ym

(y ≠ 0) n

n n

y x y x   

  



c. Kiến thức bổ sung

* Với mọi x, y, z  Q:

ThuVienDeThi.com

2

x < y <=> x + z < y + z

Với z > 0 thì: x < y <=> x . z < y . z

z < 0 thì: x < y <=> x . z > y . z

* Với x  Q, n  N:

(-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1

* Với a, b  Q;

a > b > 0 => an > bn

a > b <=> a2n +1 > b2n + 1

a > 1 , m > n > 0 => am > an

0 < a < 1 , m > n > 0 => am > an

2. Các dạng bài tập

1. Dạng 1: Tìm số chưa biết

2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa

*Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ

Bài 1: Tìm x biết rằng:

a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8

c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = 9

Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm

được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp.

a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = 8

x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3

x = -3 => 2x – 1 = - 2

Vậy x = - 3 2x = -2 + 1

2x = - 1

=> x = 2

1 

Vậy x = 2

1 

c, (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32

=> 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3

2x = 6 2x = 0

x = 3 x = 0

Vậy x = 3 hoặc x = 0 .

d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42

=> x – 2 = -4 hoặc x – 2 = 4

x = -2 x = 6

ThuVienDeThi.com

3

Vậy x = -2 hoặc x = 6

Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x5

Nếu ë bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn ,

lúng túng : hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết , số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm

cách nào đây ? Nhiều học sinh sẽ ‘’ tìm mò » được x = o hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không

thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ?

Giáo viên có thể gợi ý :

x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 => => =>  



 



0 1

0

3

2

x

x

 







1

0

3 x

x





 

1

0 x x

Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau :

Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*)

Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x20

Giải tương tự bài 2 ë trên ta được : => =>  



 



0 1

0

10

10

x

x

 







1

0

10 x

x

  







  

1

1 0

x x x

Rất có thể học sinh dừng lại ë đây , vì đã tìm được x .Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải

thay trở lại điều kiện đặt để tìm y .

+) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 3

1

+) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 3

2

+) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0

Vậy y = ; ; 0 3 1

3 2

Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 – 3x)2

Bài nàyngược với bài trên , hai lũy thừa đã có số mũ -đã biết- giống nhau nhưng cơ số – chưa

biết – lại khác nhau . Lúc này ta cần sử dụng tính chất : bình phương của hai lũy thêa bằng nhau

khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau .

Ta cố : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – 5 = 1 – 3x hoặc x – 5 = 3x – 1

=> 4x = 6 2x = -4

=> x = = x = -2 4 6

2 3

Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) 

Với bài toán này , cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau , lại phải tìm hai số x

và y bên cạnh đó là dấu ‘ ’’ , thật là khó ! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em 

có thể giải quyết được vấn đề : hãy so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200 với 0 .

Ta thấy : (3x - 5)100 0 x Q  

ThuVienDeThi.com