Đề khảo sát học sinh giỏi cấp trường năm 2014 - 2015 môn Toán học 6

TRƯỜNG THCS NÔNG TRANG-

T.P VIỆT TRÌ

ĐỀKHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

CẤP TRƯỜNG 2014 - 2015

MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)

(Đềgồm 01 trang) Câu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phép tính.

a)

3 3 3 3 3 24.47 23 7 11 1001 13 . 9 9 9 9 24 47 23 9 1001 13 7 11

A

    

      

b) M =

2 3 2012

2014 1 2 2 2 ... 2 2 2      

Câu 2 (2,5 điểm):

a) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012. Chứng tỏS chia hết cho 65. b) Tìm sốtựnhiên nhỏnhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia

cho 19 dư 11. c) Chứng tỏ: A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 (với n là sốtựnhiên)

Câu 3 (2 điểm):

a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55

b) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 4 6 8 (2 ) 4 n     

Câu 4 (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờAB chứa hai tia đối OA và OB.

a) Vẽtia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽtia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o

Tính ao

b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính sốđo góc kềbù với góc xOD khi góc AOC bằng ao

Câu 5 (1,5 điểm): Cho 2012 2011 2010 2009 10 10 10 10 8 A      a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b) Chứng minh rằng A không phải là sốchính phương.

---- HẾT ---- Lưu ý: Cán bộcoi thi không giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀKHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN 6

Câ

u Ý Nội dung, đáp án Điể

m

1

1,5

a

Đặt A=B.C

24.47 23 1128 23 1105 24 47 23 71 23 48 B         0,25 1 1 1 1 3 1 1 7 11 1001 13 1 1 1 1 3 9 1 1001 13 7 11

C

                      0,25

Suy ra 1105

144 A  0,25

b

M =

2 3 2012

2014 1 2 2 2 ... 2 2 2      

- Đặt A = 1+2+22+23 + ...+22012

- Tính được A = 22013 – 1 0,25

- Đặt B = 22014 – 2

- Tính được B = 2.(22013 – 1) 0,25

- Tính được M = 1

2 0,25

2

2,5

a

S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012. 0,25 S = (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+....+52009(5+52+53+54) 0,25 Vì (5+52+53+54) =78065 Vậy S chia hết cho 65 0,25

b

Gọi sốcần tìm là a ta có: (a-6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19. 0,25 (a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) 4 ; (a-11 +38 ) 19. (a +27) 11 ; (a +27) 4 ; (a +27) 19.

0,25

Do a là sốtựnhiên nhỏnhất nên a+27 nhỏnhất

Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .

0,25

Từđó tìm được : a = 809 0,25 10 18 1 10 1 9 27 n n A n n n     

0,25

ThuVienDeThi.com

99.....9 9 27

n

n n    

9.(11.....1 ) 27

n

n n     0,25

Ta biết sốn và sốcó tổng các chữsốbằng n có cùng sốdư khi chia cho 9 do đó 11.....1 9

n

n   nên 9.(11.....1 ) 27

n

n    . Vậy 27 A

0,25

3

2

a

Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55

=> 55 2 1 3 2 x y    (1)

0,25 Đểx nguyên thì 3y – 2 Ư(-55) =   1;5;11;55; 1; 5; 11; 55    0,25

+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28

+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = 7

3 (Loại)

+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =13

3 (Loại)

+) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 0,25

+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = 1

3 (Loại)

+) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2

+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = 53

3  (Loại)

Vậy ta có 4 cặp sốx, y nguyên thoảmãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 0,25

b

b/ Chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 4 6 8 2 4 n     

Ta có

2 2 2 2 1 1 1 1 ... 4 6 8 (2 ) A n     

0,25

2 2 2 2 1 1 1 1 ... (2.2) (2.3) (2.4) (2. ) A n      0,25

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 2 3 4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1) A n n n                       0,25

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 1 2 2 3 3 4 ( 1) A n n                 1 1 1 1 4 4 A n         

(ĐPCM) 0,25

ThuVienDeThi.com