Chuyên đề Số Học - Phần I

Nguyễn Văn Thảo Chuyên ñề Số Học - Phần I

1

Lời nói ñầu

Số học là một phần rất quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Trong hầu hết các ñề thi học sinh giỏi thì bài Số học thường xuyên xuất hiện và luôn là một thách thức lớn ñối với học sinh.

Hiện nay, không còn hệ chuyên cấp Trung học cơ sở nên các em học sinh chuyên Toán cũng không ñược học nhiều về phần này nên thường gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán ñó. Vì vậy, tôi biên soạn tài liệu này nhằm giải quyết phần nào những khó khăn ñó cho các em học sinh chuyên Toán.

Chuyên ñề gồm ba chương:

-Chương I. Các bài toán chia hết

-Chương II. Các bài toán ñồng dư

-Chương III. Các bài toán khác.

Ở mỗi bài ñều ñược trình bày ba phần: Hệ thống lí thuyết; hệ thống các ví dụ và cuối cùng là hệ thống các bài tập tự giải. Các ví dụ và bài tập luôn ñược sắp xếp với ñộ khó tăng dần - theo quan ñiểm của tác giả.

Tuy nhiên, do trình ñộ có hạn nên không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, rất mong ñược các thầy cô ñóng góp ñể hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!

NGUYỄN VĂN THẢO

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Văn Thảo Chuyên ñề Số Học - Phần I

2

Chương I

CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT

I.1 Chia hết

I.1.1 Lí thuyết

I.1.1.1 ðịnh nghĩa

Cho m và n là hai số nguyên , n ≠ 0. Ta nói rằng m chia hết cho n (hay n chia hết m) nếu tồn tại một số nguyên k sao cho m = kn.

Kí hiệu: m ⋮ n, (ñọc là m chia hết cho n) hay n | m, (ñọc là n chia hết m).

I.1.1.2 Các tính chất cơ bản

Cho các số nguyên x, y, z. Ta có:

a) x ⋮ x, x ≠ 0.

b) Nếu x ⋮ y và x ≠ 0 thì |x| ≥ |y|.

c) Nếu x ⋮ z, y ⋮ z thì ax + by ⋮ z với mọi số nguyên a, b.

d) Nếu x ⋮ z và x ∓ y ⋮ z thì y ⋮ z

e) Nếu x ⋮ y và y ⋮ x thì |x| = |y|.

f) Nếu x ⋮ y và y ⋮ z thì x ⋮ z.

g) Nếu x | y và y ≠ 0 thì | y y x .

Chứng minh

a) x = 1.x nên x ⋮ x với mọi x ≠ 0.

b) Nếu x ⋮ y , x ≠ 0 thì tồn tại k ∈ Z sao cho x = ky, k ≠ 0

⇒|x| = |k||y| ≥ |y| do |k| ≥ 1.

Các phần còn lại cũng khá ñơn giản, việc chứng minh xin nhường lại cho bạn ñọc.

I.1.2 Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng

a) 2n là tổng của hai số lẻ liên tiếp.

b) 3n là tổng của ba số tự nhiên liên tiếp.

Lời giải

a) Ta có 2n = (2n-1 - 1) + (2n-1 +1) suy ra ñpcm.

b) Ta có 3n = (3n-1 - 1) + (3n-1) + (3n-1 + 1) suy ra ñpcm.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng:

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Văn Thảo Chuyên ñề Số Học - Phần I

3

a) nếu m – n chia hết mp + nq thì m – n cũng chia hết mq + np.

b) nếu m – n chia hết mp thì m – n cũng chia hết np.

Lời giải

Nhận xét: Hai biểu thức (mp + nq) và (mq + np) là hai biểu thức có hình thức giống như “ñối xứng loại hai” vì vậy khi xét các biểu thức loại này thường người ta kiểm tra hiệu của chúng.

a) Ta có (mp + nq) – (mq + np) = (m - n)(p - q) ⋮ (m - n)

Nên nếu (mp + nq) ⋮ (m - n) thì hiển nhiên (mq + np) ⋮ (m - n).

b) Chứng minh tương tự.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 chia hết cho 9 thì một trong ba số a, b, c phải chia hết cho 3.

Lời giải

Nhận xét: Với những bài toán chứng minh a chia hết cho một số cụ thể luôn khá ñơn giản! Ta có thể xét hết các trường hợp xảy ra của số dư khi a chia cho số ñó. ( Công viêc ñó chính là xét về hệ thặng dư ñầy ñủ - ñây là tập hữu hạn nên có thể thử trực tiếp)

Giả sử không có số nào trong ba số a, b, c chia hết cho 3. Khi ñó

a = 3m ± 1; b = 3n ± 1; c = 3p ± 1

Do ñó a3 + b3 + c3 = (3m ± 1)3 + (3n ± 1)3 + (3p ± 1)3

=

9 3

9 1

9 3

9 1

A

a

a

A

+   +   −  − 

không thể chia hết cho 9.

Từ ñó suy ra ñpcm.

Ví dụ 4.

Chứng minh rằng nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì cả a và b ñều chia hết cho 3.

Lời giải

TH1: có 1 số không chia hết cho 3, giả sử là a

Khi ñó a = 3k ± 1; b = 3q suy ra a2 + b2 = (3k ± 1)2 + (3q)2

= 3(3k2 ± 2k + 3q2) + 1 không chia hết cho 3.

TH2: cả hai số không chia hết cho 3.

Khi ñó a = 3k ± 1; b = 3q ± 1 suy ra a2 + b2 = 3A +2

Do ñó cả a và b phải chia hết cho 3.

Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên chẵn n và mọi số tự nhiên lẻ k thì

ThuVienDeThi.com