Đề thi olympic Toán lớp 8 năm học 2010 - 2011

PHÒNG GD-ĐT THẠCH HÀ

Đề chính thức

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8

NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) . 2 4 8 x x  

b) .     2 2 2 4 10 7 4 11 7 x x x x      

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a)

2 2 2 2 17 15 13 11 2008 2010 2012 2014 x x x x       

b) . 2 2 2 (1 ) 4 (1 ) 0 x x x    

Bài 3. a) Cho phương trình: , với m là tham số. Tìm m để phương 4 1 3 1 x m x

   trình có nghiệm dương.

b) Cho các số nguyên: thoã mãn điều kiện: 1 2 3 10 , , ,... a a a a

chia hết cho 6. Chứng minh: chia hết 3 3 3 3 1 2 3 10 ... a a a a     1 2 3 10 ... a a a a    

cho 6.

Bài 4. Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C trên tia Ax, lấy điểm D trên tia By

sao cho . A 0 90 COD 

a) Chứng minh rằng: đồng dạng với ; ACO  BOD 

đồng dạng với . OCD  BOD 

b) Kẻ OI vuông góc với CD (I thuộc CD), gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: IK // AC.

c) Gọi E là giao điểm của OD với IK. Chứng minh: IE = BD.

Bài 5. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I (

), gọi G là giao AM với BI; K là giao điểm CG với AB. Chứng minh rằng: I A 

IK // BC.

===HẾT===

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8, NĂM HỌC 2010-2011

Bài Nội dung Điểm

a) (2.0đ)

2 2 2 2 4 8 4 4 12 ( 2) 12 x x x x x         

( 2 12)( 2 12) x x     

1.0

1.0 Bài 1

4.0 điểm

b) (2,0đ) Đặt   2 4 10 x x a   

Ta có: = 2 7( 1) 7 a a      7 a a 

=    2 2 4 10 4 3 x x x x    

=     2 4 10 3 1 x x x x    

0.5

0.5 0.5

0.5

a) (2.0đ)

2 2 2 2 17 15 13 11 2008 2010 2012 2014 x x x x       

2 2 2 2 17 15 13 11 1 1 1 1 2008 2010 2012 2014 x x x x          0,5

2 2 2 2 17 2008 15 2010 13 2012 11 2014 2008 2010 2012 2014 x x x x             0,25

2 2 2 2 2025 2025 2025 2025 0 2008 2010 2012 2014 x x x x          0,5

2 1 1 1 1 ( 2025). 0 2008 2010 2012 2014 x             0,25

2 2025 0 x    . Vậy ph trình có 2 nghiệm là và 45 x   1 45 x  2 45 x 

0,25 0,25

b) (2.0đ)

2 2 2 (1 ) 4 (1 ) 0 x x x    

2 2 2 2 2 (1 ) 4 (1 ) 4 4 8 0 x x x x x x         0,5

2 2 2 (1 2 ) 4( 2 1) 4 0 x x x x         0,25

2 2 2 (1 2 2) 0 2 1 0 x x x x         0,25

Bài 2

4.0 điểm

2 ( 1) 2 x   

Vậy phương trình có 2 nghiệm và 2 1 x    1 2 1 x   2 2 1 x  

0,5

0.5

Bài 3

4.0 điểm

a) (2,0đ) ĐKXĐ: x 1 

suy ra: 4x – 1 = (m+3)(x-1) 4 1 3 1 x m x

   (m -1) x = m+2 (*)  * Nếu m = 1 thì pt (*) vô nghiệm

* Nếu m 1 pt (*) có nghiệm  2 1 m x m

   Ta thấy nên x 1 2 1 m m    

Phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ khi 2 0 1 m

m

   m > 1 hoặc m < -2 

0.25

0.25

0.5 0.25 0,25

0.25

0,25

ThuVienDeThi.com

b) (2.0đ) Xét ( ) 3 3 3 3 1 2 3 10 ( ... ) a a a a      1 2 3 10 ... a a a a    

= 3 3 3 1 1 2 2 10 10 ( ) ( ) .... ( ) a a a a a a      

Do chia hết cho 2 và 3 nên 3 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) a a a a a     1 1 1 ( 1) ( 1) a a a   6 

Khi đó ta có: ( ) 3 3 3 3 1 2 3 10 ( ... ) a a a a      1 2 3 10 ... a a a a     6 

Mà 3 3 3 3 1 2 3 10 ... 6 a a a a      Suy ra: 1 2 3 10 ... a a a a     6 

0,25 0.75

0.5 0.5 (0,25đ) Vẽ hình đúng 0,25 a) (1,75 đ) * đồng dạng với ( g. g) ACO  BOD 

* Do đồng dạng với ( g-g) ACO  BOD  suy ra:

AO CO BO BD BD OD CO OD   

Khi đó ta có: đồng dạng với OCD  ( c.g.c). BOD 

0.5

0.5

0.75

b) (2 đ) Ta chứng minh được (cạnh huyền-góc nhọn) DB = DI OBD OID    chứng minh tương tự ta có: CI = CA

khi đó ta có: (1) CI CA ID BD 

Do AC // BD nên ta có: (2) CK CA BK BD 

từ (1) và (2) ta có: IK // AC CK CI BK BD  

0.5

0.5

0.5

0.5

Bài 4

6.0 điểm

c) (2.0 đ)Ta chứng minh được E là trực tâm của BOI  BE vuông góc OI mà OI vuông góc CD suy ra CD // BE  kết hợp với BD // IK ta có BEID là hình bình hành BD = IE 

1.0 0.5 0.5 Vẽ hình …