Hướng dẫn chấm thi ô - Lim -pic huyện, môn Toán lớp 8 năm học 2007 - 2008

Hướng dẫn chấm thi Ô-lim -pic huyện, Môn Toán Lớp 8 Năm học 2007-2008

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (2 điểm) a) a2 – a – 6 = a2 + 2a -3a – 6 = a(a + 2) -3( a + 2) = ( a + 2)( a – 3) (2®) b) a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a2 + 2)2 - 4a2 = (a2 + 2 + 2a)( a2 + 2 - 2a) (2®)

Bài 2. a) Tìm đa thức bậc ba f(x), biết: f(x) + f(x + 1) = 4x3 + 14x2 + 16x + 17 (2 điểm) Giải: Đa thức phải tìm có dạng ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d R)  Ta có: f(x) + f(x + 1) = ax3 + bx2 + cx + d + a(x + 1)3 + b(x + 1)2 + c(x + 1) + d = 2ax3 +(3a + 2b)x2 + (3a + 2b + 2c)x + a + b + c + 2d = 4x3 + 14x2 + 16x + 17 Đồng nhất hai vÕ ta có: 2a = 4 => a = 2 3a + 2b = 14 => b = 4 3a + 2b + 2c =16 => c = 1 a + b + c + 2d = 17 => d = 5. Vậy đa thức phải tìm là 2x3 + 4x2 + x + 5 b) Tìm n N* sao cho n2 + n + 13 là số chính phương. (2 điểm)  Giải: Đặt n2 + n + 13 = y2 (y N*) => 4n2 + 4n + 52 = 4y2  <=> (2y + 2n + 1) (2y – 2n - 1) = 51 <=>

Vậy n = 3, hoặc n = 12

2y 2n 1 17 n 3 2y 2n 1 3 y 5

2y 2n 1 51 n 12 2y 2n 1 1 y 5

                               

Bài 3. Cho f(x) = , tính tổng: 100 100 10 

x

x

S = f( ) + f( ) + f( ) + … + f( ) (3,5 điểm) 1 2009

2 2009

3 2009

2008 2009 Giải: Nếu x1 + x2 = 1 thì:

f(x1) + f(x2) = + =

1

1 100 100 10 

x

x

2

2 100 100 10 

x

x

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 100 10.100 100 10.100 100 10.100 10.100 100

 



     

x x x x x x

x x x x

= . Do đó: f( ) + f( ) = 1; f( ) + f( ) = 1

1 2

1 2 100 10.100 100 10.100 1 100 10.100 10.100 100       

x x

x x

1 2009

2008 2009

2 2009

2007 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f( ) + f( ) = 1. => S = 1004 1004

2009

1005

2009

Bài 4. a) Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: P = (1.5 điểm)

2

4 2 x x x 1   Giải: Ta thấy x = 0 thì P = 0 giá trị này không phải là GTLN của P, P đạt GTLN với x 0 

P = đạt GTLN <=> nhỏ nhất <=> = 2<=> x = 1 2

2

1

1 (x ) 1 x  

2

2 1 x x  2

2 1 x x  

Vậy max P = <=> x = 1 1 3 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (3 điểm)

2 2

2 ( 18 32)( 9 8)     x x x x

x

Giải: A = = = 2 ( 2)( 16)( 8)( 1)     x x x x

x

2 2

2 ( 10 16)( 17 16)     x x x x

x

= Vì Nên A (10 + 8)(17 + 8) = 450 16 16 ( x 10 )( x 17 ) x x     16 x 8 x   

Dấu bằng xẩy ra <=> <=> x = 4 x 4   ThuVienDeThi.com

Bài 5. Cho hình vuông ABCD, M và N theo thứ tự là trung điểm của của AB và AD. MD cắt AC tại P, NC cắt BD tại Q, MD và NC cắt nhau tại E, PQ và BE cắt nhau tại F. Chứng minh:

a) BC = BE (3điểm) b) FP = FE (3điểm) Giải: a) Ta có: AMD = DNC vì   AD = DC (gt) AM = DN = 1/2AD,

= 1v A A MAD NDC  => =1v => = 1v. A A EDN END  ANED Đường thẳng DM cắt đường thẳng CB tại K. Ta có MB là đường trung bình của DCK  => BK = BC, EB là trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông EKC => BC = BE (Đpcm) b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có P là trọng tâm ABD, Q là trọng tâm DCA =>  

=> PQ//AD//KC => => FP = FE (Đpcm) OP OQ 1 OA OD 3   FP FQ E KB BC EB  

A

B C

D

K

M

N

P

Q

O

F

E

ThuVienDeThi.com