Đề thi olympic truyền thống 30-4 TP. HCM môn Toán 10 lần thứ XX năm 2014 môn Toán

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐHỒCHÍ MINH

ĐỀTHI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 MÔN TOÁN 10 LẦN THỨXX NĂM 2014

Môn : Toán Thời gian : 180 phút (không kểthời gian giao đề) Ngày thi : 05.04.2014

ĐỀCHÍNH THỨC Bài 1 (4, 0 điểm) Giải hệphương trình {︂√︀

5?2 + 2??+ 2?2 + √︀

2?2 + 2??+ 5?2 = 3(?+ ?) √2?+ ?+ 1 + 2 3√7?+ 12?+ 8 = 2??+ ?+ 5

Bài 2 (4, 0 điểm) Cho đường tròn (?) đường kính ??, ?là điểm di động trên (?) không trùng ?và ?. Các tiếp tuyến tại ?, ?của (?) cắt nhau tại ?. Giao điểm khác ?của ??với (?) là ?. Tiếp tuyến của (?) tại ?cắt ??tại ?. Chứng minh rằng ?di động trên một đường cốđịnh khi điểm ? di động trên (?) Bài 3 (3, 0 điểm) Cho các sốthực dương ?, ?, ?. Chứng minh :

? √

7?2 + ?2 + ?2 + ? √

?2 + 7?2 + ?2 + ? √

?2 + ?2 + 7?2 ≤1

Bài 4 (3, 0 điểm) Tìm sốnguyên dương ?sao cho phương trình

?2 + ?2 + ?+ ?= ???

có nghiệm nguyên dương (?, ?) Bài 5 (3, 0 điểm) Cho trước sốnguyên dương ?≥2. Trong một giải đấu cờvua có 2?vận động viên tham gia, một người đấu với một người khác đúng một ván. Tại một thời điểm trong giải, người ta thấy có ?2 + 1 ván đấu đã diễn ra. Chứng minh rằng khi đó có thểchọn ra ba vận động viên sao cho hai người bất kì trong ba người được chọn đều đã thi đấu với nhau, Bài 6 (3, 0 điểm) Cho hàm số?: N* →N * ∖{1} và thỏa mãn :

?(?) + ?(?+ 1) = ?(?+ 2)?(?+ 3) −168, ∀?∈N*

Tính ?(2014)

------------------------------------ HẾT ------------------------------------

∙Thí sinh không được sửdụng tài liệu và máy tính cầm tay.

∙Giám thịkhông giải thích thì thêm.

c○Diễn đàn Toán học

ThuVienDeThi.com