Bài tập nâng cao về vectơ - Chuyên đề 1 Vectơ và các phép trên vectơ

Chuyên đề 1 =================== VECTƠ Và CáC PHéP TOáN TRÊN VECTƠ

I. TãM T¾T KIÕN THøC

1. Vectơ

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào là điểm đầu (gốc), điểm mút nào là điểm cuối (ngọn), được đặc trưng bởi các yếu tố: (*) Phương (**) Hướng (chiều) (***) Độ lớn (độ dài) A B

• Hướng từ điểm đầu tới điểm cuối của vectơ được gọi là hướng của vectơ. • Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là AB



* Ngoài ra, vectơ còn được kí hiệu bởi các chữ in thường như , , , , , , ... a b c x y u v        đối với các vectơ tự do. • Độ dài của vectơ AB

 là AB AB  

• Vectơ-không là vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Do đó độ dài của vectơ-không bằng 0 và vectơ-không có hướng tùy ý. Vectơ-không được kí hiệu là 0

 chứ không phải 0. • Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, ví dụ giá của vectơ AB

 là đường thẳng AB. • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Ví dụ hai vectơ AB

 và CD

 là hai vectơ cùng phương (vì AB // CD) và được kí hiệu là // AB CD  

A B

D C

• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng, có thể ngược hướng.

// AB CD AB CD

AB CD

  

 

   

 

* Vectơ-không cùng hướng với mọi vectơ. • Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng

độ dài:

AB CD AB CD

AB CD

    

  

   

 

ThuVienDeThi.com

2. Các phép toán trên vectơ

a. Phép cộng hai vectơ

Cho hai vectơ a

 và b

. Tổng của hai vectơ này được xác định như sau: (1) Lấy một điểm A bất kì. (2) Dựng các vectơ AB a   , BC b   . Vectơ AC

 được gọi là tổng của hai vectơ a

 và b

: AC AB BC a b         

Từ đó, ta có các quy tắc sau đây: • Quy tắc ba điểm (Quy tắc chèn điểm) Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN MP PN     

Mở rộng ra, ta có quy tắc n điểm: 1 1 2 2 3 1 ... n n n A A A A A A A A         

• Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành MNPQ bất kì, ta có: MP MN MQ     

Các tính chất của phép cộng vectơ:

(1) Tính giao hoán: a b b a       

(2) Tính kết hợp:    a b c a b c           

(3) Cộng với vectơ-không: 0 a a     

Ta cũng có một bất đẳng thức khá quan trọng sau đây:

a b a b        (Dấu “=” xảy ra  a b   )

b. Phép trừ hai vectơ:

• Vectơ đối: Vectơ a

 được gọi là vectơ đối của vectơ b

 khi a

 và b

 là

hai vectơ ngược hướng và có cùng độ dài:

a b a b

a b

     

   

 

• Hiệu của hai vectơ a

 và b

 là tổng của vectơ a

 với vectơ đối của vectơ b

:   a b a b       

Các quy tắc: • Quy tắc ba điểm: Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có: MN PN PM     

• Quy tắc chuyển vế: Với ba vectơ ,a b

  và c

 ta có: a b c a c b           

3. Phép nhân một vect ơ với một số thực

Tích của số thực k với vectơ a

 là một vectơ, kí hiệu là ka

, được xác định như sau:

• Nếu 0 k  hoặc 0 a 

  thì 0 ka 

 

• Nếu 0 k  và 0 a 

  thì ka a    và ka k a   

ThuVienDeThi.com