35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác

35 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. Cho có a =12, b =15, c =13 ABC  a. Tính số đo các góc của ABC  b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC  c. Tính S, R, r d. Tính , , a b c h h h

HS: Tự giải

2. Cho có AB = 6, AC= 8, ABC  A 0 120 A  a. Tính diện tích ABC  b. Tính cạnh BC và bán kính R

HS: Tự giải 3. Cho có a = 8, b =10, c =13 ABC  a. co góc tù hay không? ABC  b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC  c. Tính diện tích ABC  HS: Tự giải

4. Cho có tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC  A A 0 0 60 , 45 , 2 A B b    và diện tích tam giác ABC 

HS: Tự giải

5. Cho AC = 7, AB = 5 và tính BC, S, , R ABC  3 cos 5 A  ah

HS: Tự giải 6. Cho có và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC ABC  4, 2 b c m m  

HS: Tự giải 7. Cho có AB = 3, AC = 4 và diện tích . Tính cạnh BC ABC  3 3 S  HS: Tự giải 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp biết AB = 2, AC = 3, BC = 4 ABC  HS: Tự giải

9. Tính của có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức AA ABC      2 2 2 2 b b a c a c   

HS: Tự giải 10. Cho . CMR ABC 

a.

2 2 2

2 2 2 tan tan

A c a b B c b a     

b.  

2 2 1 cos 4 sin

C c a b S C    

c. 2 2 sin sin sin S R A B C 

d.  

2 2 2 1 2 S AB AC ABAC    

e. cos cos a b C c B  

f.     2 sin A p p a p b p c bc    

HS Tự giải 11. Gọi G là trọng tâm và M là điểm tùy ý. CMR ABC 

ThuVienDeThi.com

a. 2 2 2 2 2 2 2 3 MA MB MC GA GB GC GM       b.     2 2 2 2 2 2 4 3 a b c m m m a b c     

HS Tự giải 12. Cho có b + c =2a. CMR ABC 

a. sin sin 2sin B C A  

b. 2 1 1

a b c h h h  

HS Tự giải

13. Cho biết ABC      4 3, 1 , 0,3 , 8 3,3 A B C 

a. Tính các cạnh và các góc còn lại của ABC  b. Tính chu vi và diện tích ABC  HS Tự giải

14. Cho biết . Tính , cạnh b,c của tam giác đó ABC  A A 0 0 40,6; 36 20', 73 a B C    AA HS Tự giải

15. Cho biết ; ; . Tính và cạnh c. ABC  42,4 a m  36,6 b m  A 0 33 10' C  A A , A B HS Tự giải 16. Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là . Hỏi so với việc nối thẳng từ A 0 75 đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?

HS Tự giải 17. 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết

. Hãy tính khoảng cách AC và BC. A A 0 0 87 , 62 CAB CBA   HS Tự giải

Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, và hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc AA   với nhau. Tính . ABC S

Hướng dẫn giải:

Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc

với nhau thì .

2 2

2 2 2 3 3 b c m m a              

2 2 2 2 2 2

2 4 4 ( ) ( ) 9 2 4 9 2 4 a b c a c b a       

2 2 2 5a b c    Mặt khác 2 2 2 2 cos a b c bc A   

2 2 2 2 2 2 5 2 cos cos cos a a a a bc A bc A       

2 1 sin tan 2 ABC S bc A a    

Bài 19. Cho tam giác ABC. Gọi lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. , , A B C l l l

Chứng minh rằng.

A

B

C

M N

ThuVienDeThi.com