Bài tập Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy

BÀI TẬP: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Oxy Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2), đường cao CH : x – y + 1 = 0, đường phân giác trong BN : 2x + y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC.

Bài làm : AB đi qua A(1 ;-2) và AB CH AB : x + y + 1 = 0

B = ABBN nên tọa độ điểm B là nghiệm của hpt

  

  

  

0 5 2

0 1 y x

y x 

  



 

3

4 y x

B(-4 ; 3) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BN thì A’BC. Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BN là d : x – 2y – 5 = 0. Gọi I = dBN thì tọa độ điểm M là nghiệm của hệ pt :

  

  

  

0 5 2

0 5 2

y x

y x 

  

 

 

3 1 y x I(--1;-3).

I là trung điểm của AA’ nên A’(-3 ;-4) Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + 1 = 0 C= BCCH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt :

  

  

  

0 1

0 25 7

y x

y x 

 

 



 

 

4 9

4 13

y

x

 C( 4 9 ; 4 13   )

BC = 4

2 15 , d(A,BC) = 3 2 ;

SABC = 24

45

Bài 2:Trong mặt phẳng oxy cho ABC  có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ABC  .

Bài làm : - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ phương

      2 1; 3 : 1 3 x t n AC t R y t          



- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C :

2

1 3

1 0

x t

y t

x y

         

Giải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung

điểm của AB 3 9 1 ; 2 2 a a M         

.

- Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :

  3 9 1 1 0 3 1; 2 2 2 a a a B        

ThuVienDeThi.com

- Ta có :       12 2 1 1; 3 10, : 3 5 0, ; 1 3 10 x y AB AB AB x y h C AB            

- Vậy :   1 1 12 . , 10. 6 2 2 10 ABC S AB h C AB    (đvdt).

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm (1;0) H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2) K , trung điểm cạnh AB là (3;1) M . Bài làm : - Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến

      1; 2 : 2 2 0 2 4 0 KH AC x y x y           

. - B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương

    1; 2 1 ; 2 KH B t t      

. - M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t). - Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2) - Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,     2 2;4 , 3;4 BC t t HA      

. Theo tính chất đường cao kẻ từ A :

    . 0 3 2 2 4 4 0 1 HA BC t t t         

. Vậy : C(-2;1).

- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương       4 4 2;6 // 1;3 : 1 3 x y BA u AB        

3 8 0 x y    

- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến         3;4 :3 2 4 2 0 HA BC x y       

3 4 2 0 x y     . Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài làm : Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :

2 1 0 21 13 ; 7 14 0 5 5

x y B x y               

- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:

   

21

5 1; 2 : 13 2 5

x t u BC

y t

          



- Ta có :     , 2 2 2 , AC BD BIC ABD AB BD     

- (AB) có   1 1; 2 n   

, (BD) có   1 2 2

1 2

n . 1 14 15 3 1; 7 os =

5 50 5 10 10 n n c

n n        

 



- Gọi (AC) có    

2

2 2 a-7b 9 4 , os AC,BD os2 = 2cos 1 2 1 10 5 50 n a b c c

a b               



- Do đó :     2 2 2 2 2 2 2 5 7 4 50 7 32 31 14 17 0 a b a b a b a b a ab b            

- Suy ra :     

 

17 17 : 2 …