Bài tập chương IV - Đại số 10

BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ10 MINH HIẾU

__________________________________________________________________________________ - 1 -

BÀI TẬP ĐẠI SỐCHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tính chất

Điều kiện Nội dung a < b a + c < b + c (1) c > 0 a < b ac < bc (2a) c < 0 a < b ac > bc (2b) a < b và c < d a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b và c < d ac < bd (4)

n nguyên dương a < b a2n+1 < b2n+1 (5a) 0 < a < b a2n < b2n (5b)

a > 0 a < b  a b  (6a)

a < b 3 3 a b  (6b)

2. Một sốbất đẳng thức thông dụng

a) a a 2 0,  . a b ab 2 2 2   . b) Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b 0, ta có: a b ab 2   . Dấu "=" xảy ra a = b.

+ Với a, b, c 0, ta có: a b c abc 3 3    . Dấu "=" xảy ra a = b = c.

Hệquả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏnhất x = y. c) Bất đẳng thức vềgiá trịtuyệt đối

Điều kiện Nội dung x x x x x 0, ,   

a > 0

x a a x a    

x a x a x a    

a b a b a b     

d) Bất đẳng thức vềcác cạnh của tam giác

Với a, b, c là độdài các cạnh của một tam giác, ta có:

+ a, b, c > 0. + a b c a b     ; b c a b c    ; c a b c a     . e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki

Với a, b, x, y R, ta có: ax by a b x y 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )     . Dấu "=" xảy ra ay = bx.

ThuVienDeThi.com

BÀI TẬP CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ10 MINH HIẾU

__________________________________________________________________________________ - 2 -

VẤN ĐỀ1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản

Đểchứng minh một BĐT ta có thểsửdụng các cách sau:

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sửdụng một BĐT đã biết, biến đổi đểdẫn đến BĐT cần chứng minh. Một sốBĐT thường dùng:

+ A2 0  + A B 2 2 0   + A B . 0  với A, B 0. + A B AB 2 2 2   Chú ý:

– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện đểdấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thểtìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Bài 1. Cho a, b, c, d, e R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b c ab bc ca 2 2 2      b) a b ab a b 2 2 1     c) a b c a b c 2 2 2 3 2( )       d) a b c ab bc ca 2 2 2 2( )     

e) a b c a ab a c 4 4 2 2 1 2 ( 1)      f) a b c ab ac bc 2

2 2 2 4     

g) a b b c c a abc 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6       h) a b c d e a b c d e 2 2 2 2 2 ( )        

i) a b c ab bc ca

1 1 1 1 1 1      với a, b, c > 0

k) a b c ab bc ca      với a, b, c 0

HD: a) a b b c c a 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0       b) a b a b 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 0      

c) a b c 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0       d) a b c 2 ( ) 0   

e) a b a c a 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 1) 0       f)  a b c

2 ( ) 0 2         

g) a bc b ca c ab 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0      

h) a a a a b c d e

2 2 2 2

0 2 2 2 2                                

i) 

a b b c c a

2 2 2 1 1 1 1 1 1 0                        

k)       a b b c c a 2 2 2

0      

Bài 2. Cho a, b, c R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b a b

3 3 3

2 2        

; với a, b 0 b) a b a b ab 4 4 3 3   

c) a a 4 3 4   d) a b c abc 3 3 3 3    , với a, b, c > 0.

e) a b a b

b a

6 6 4 4

2 2    ; với a, b 0. f) ab a b 2 2 1 1 2 1 1 1     

; với ab 1.

g) a

a

2

2

3 2 2

  

h) a b a b a b a b 5 5 4 4 2 2 ( )( ) ( )( )      ; với ab > 0.

ThuVienDeThi.com