Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1

Bài 2. Giới hạn của hàm số

Phương pháp giải bài tập:

Bài tập mẫu:

Bài 1. Cho hàm số

2 2 1 x x y x

    . Dùng định nghĩa chứng minh rằng

1 lim ( ) 3 x f x   .

Giải: Hàm số y=f(x) xác định trên  \ 1 . R Giả sử (xn) là dãy số bất kì 1 nx  và 1 nx 

    

2 2 1 2 lim ( ) lim lim lim 2 3 1 1

n n n n n n n n n n n n

x x x x f x x x x               

Bài 2. Cho hàm số neáu 0 ( ) . 2 neáu 0 x x y f x

x x

     

Dùng định nghĩa chứng minh hàm số

y=f(x) không có giới hạn khi 0 x 

Giải :

 

 

1 1 Xeùt daõy 0 0

1 lim ( ) lim 0 (1)

1 Xeùt daõy khi ; 0

1 lim ( ) lim 2 2 (2)

Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi 0

n

n n n

n n

n n n

x n n

f x n

x n x n

f x n

x

 

 

           

 

                 

 BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn: Phương pháp:

1. 

0 0 0 lim ( ) ( ), \ , lim lim ( ) n n n n x x n n f x L x x K x x x f x L         

2. Để chứng minh hàm số f(x) không có giới hạn khi 0 x x  ta thực hiện: Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thoã mãn: xn, yn thuộc tập xác

định của hàm số và khác x0

 0 0 lim , lim n n n n x x y x    

     Chöùng minh lim lim hoaëc moät trong hai n n n n f x f y    giới

hạn đó không tồn tại

ThuVienDeThi.com

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2

Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau :

2

3 3 2

3

2 5

9 1 ) lim 6 ) lim 3 1 3 1 ) lim 4 ) lim 3 1

x x

x x

x a b x x x x c d x x

 

 

           Bài 2.

1. Cho hàm số

2

2

neáu 0 ( )

1 neáu 0

x x f x

x x

      

.

a. Vẽđồ thị hàm số f(x). Từđó dựđoán về giới hạn của f(x) khi 0 x  . b. Dùng định nghĩa chứng minh dựđoán trên.

2. Cho hàm số 2 1 ( ) sin f x

x  . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi 0 x  .

Bài 3.

a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x  b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a) Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng   ;a  . Dùng

định nghĩa chứng minh rằng, nếu

lim ( ) vaø lim ( ) thì lim ( ) ( ) . x x x f x L g x M f x g x L M      

Bài tập mẫu: Bài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:

 

2

1 3

2

2 4 1

2

2

1 )lim 2 1 ) lim 3 3 1 ) lim ) lim 1 4

4 )lim 2 2

x x

x x

x

x a x b x x x c d x x

x e x

 

 



       





Giải:

Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện:

1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì  

0 0 lim ( ) x x f x f x  

2. Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn 

ThuVienDeThi.com

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3

   

 

2

1

3

2

2 4 4 4

2

1

)lim 2 1 2 1 1 3 1

1 3 1 1 ) lim 3 3 3 3

3 )Ta có: lim 3 1 0 và lim 4 0 nên lim

4

1 ) lim 1

x

x

x x x

x

a x

x b x

x c x x

x

x d x





  



   

     

      

  

2

2

4 0 )lim 0 2 2 4 x

x e x 

    Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:

 

 

2 2

2

2 3

3 2 3 3

) lim 2 4 ) lim 4 1

2 2 15 )lim )lim 2 2

x x

x x

a x x b x x

x x c d x x x

 

 

   

    

Đáp số:

2 2

2

) 14

4 1 ) lim 4 1 lim

4 1 11 ) ) 4

x x

a

x x b x x

x x

c d

 

       



Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau:

2

2

2

3 6 ) ( ) khi x 3 1

) ( ) 4 2 5 khi x

) ( ) 3 6 1 khi x 15 ) ( ) khi x 2 2 15 ) ( ) khi x 2 2

x x a y f x x

b y f x x x

c y f x x x x d y f x x x d y f x x





     

    

               Đáp số:

) 3 ) ) ) ) a b c d e    

ThuVienDeThi.com