Đề thi VMEO IV tháng 11 2015 môn Toán

1. CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 2

1 CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ

Bài toán 1.1. Cho đường thẳng (d) : y = x + 1 √

2 trên mặt phẳng tọa độOxy.

1. Chứng minh rằng mọi đường tròn có tâm I thuộc (d) và bán kính 1

8 đều không chứa bất cứđiểm

nguyên nào.

2. Tìm sốdương k lớn nhất sao cho khoảng cách từmọi điểm nguyên trên mặt phẳng tới đường thẳng d đều không nhỏhơn k. △

Bài toán 1.2. Cho tam giác BAC cân tại A có ∠BAC = 20o. Dựng tam giác đều BDC sao cho D, A cùng phía so với BC. Dựng tam giác DEB cân tại D có ∠EDB = 80o và C, E khác phía so với DB. Chứng minh tam giác AEC cân tại E. △

Bài toán 1.3. Có bao nhiêu sốtựnhiên n bé hơn 2015 mà chia hết cho ⌊3√n⌋? Ởđây ⌊a⌋là sốnguyên lớn nhất không vượt quá a(a ∈R). △

Bài toán 1.4. Các bạn học sinh trong trường xếp các hàng dọc sao cho đếm từtrái sang, hàng thứ nhất có n bạn, hàng thứ2 có n −1 bạn, ... cho đến hàng thứn có 1 bạn. Các bạn đều quay mặt về phía hàng thứnhất. Ví dụvới n = 5 (mỗi dấu * đại diện cho một bạn): * * * * * * * * * * * * * * * (hàng thứnhất) Mỗi bạn được phép chọn duy nhất một mệnh đềtrong hai mệnh đềdưới đây đểphát biểu (trừcác bạn đứng đầu hàng).

• Mệnh đề1. "Bạn trước mặt mình là người nói thật, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói dối."

• Mệnh đề2: "Bạn trước mặt mình là người nói dối, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói thật."

Với n = 2015, hãy tìm sốngười nói thật nhiều nhất có thể. Chú thích: Nếu một bạn học sinh nói dối thì bạn ấy sẽnói ngược sựthật. Còn một bạn học sinh nói thật thì bạn ấy sẽnói đúng sựthật. △

Hết đềcấp THCS

VMEO IV Diễn đàn Toán học ThuVienDeThi.com

2. CẤP TRUNG HỌC PHỔTHÔNG 3

2 CẤP TRUNG HỌC PHỔTHÔNG

Bài toán 2.1. Với k ⩾0 cho trước và a, b, c là ba sốthực dương sao cho

a

b + b

c + c

a = (k + 1)2 + 2 k + 1

Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ⩽(k2 + 1)(ab + bc + ca) △

Bài toán 2.2. Cho tam giác ABC với hai điểm P, Q đẳng giác. Gọi D, E là hình chiếu của P lên AB, AC. G là hình chiếu của Q lên BC. U là hình chiếu của G lên DE, L là hình chiếu của P lên AQ, K là đối xứng của L qua UG. Chứng minh UK đi qua điểm cốđịnh. △

Bài toán 2.3. Tìm tất cảcác sốnguyên dương a, b, c đôi một nguyên tốcùng nhau sao cho

a2 + b | b2 + c, b2 + c | c2 + a

và tất cảcác ước nguyên tốcủa a2 + b không đồng dư với 1 modulo 7. △

Hết đềcấp THPT

VMEO IV Diễn đàn Toán học ThuVienDeThi.com