Các đề thi thử Toán tổng hợp từ VMF

CÁC ĐỀTHI THỬTỔNG HỢP TỪVMF

Các bài tập trong tài liệu này mình lấy từcác box luyện thi đại học của diendantoanhoc.net như: BĐT chuẩn bịcho kì thi THPT QG 2015-2016, PT và HPT qua các đềthi thửđại học, Topic tổng hợp các bài toán HHP trong các đềthi thửđại học. Mục đích của việc tổng hợp này là mình chỉmuốn có tài liệu dạy cho học sinh, nhưng thôi cứgửi lên diễn đàn cho anh em nào muốn xem và tải vềđọc tham khảo cũng được. Còn vì sao tài liệu này xấu quá, ừthì mình rất ngu Latex mong anh em cốđọc! (Nguyễn Công Định, Đầm Dơi)

1 1. Cho x, y, z là các sốthực dương thỏa mãn: x2 + y2 + 6z2 = 4z(x + y). Tìm giá trịnhỏnhất

của biểu thức: P = x3 y(x+z)2 + y3

x(y+z)2 + √

x2+y2

z

2. Giải hệphương trình:

( x2 + y2 + x + y = 4 x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2 3. Trong mặt phẳng với hệtọa độOxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I (-2;1) và thỏa mãn điều kiện góc AIB = 90 độ, chân đường cao kẻtừA đến BC là D (-1;-1), đường thẳng AC đi qua điểm M (-1;4). Tìm tọa độcác đỉnh A, B biết rằng đỉnh A có hoành độdương. Hướng dẫn 1. Từgiảthiết ta có (x

z)2 + (y

z)2 + 6 = 4(x

z + y

z) Đặt x

z = a, y

z = b ⇒a2 + b2 + 6 = 4(a + b)

⇒ 4(a + b) = a2 + b2 + 6 ⩾2ab + 6 4(a + b) = a2 + b2 + 6 ⩾2(a + b) + 4 ⇒ 2(a + b) ⩾ab + 3 a + b ⩾2 Ta có P = a3 b(a+1)2 + b3 a(b+1)2 + √

a2 + b2

⇒P ⩾ a3 b(a+1)2 + b3 a(b+1)2 + q

(a+b)2

2 ⩾Q + √

2 Xét Q, áp dụng AM-GM ta có a3 b(a+1)2 + a+1

8 + ab+b

8 ⩾3a

4 b3 a(b+1)2 + b+1

8 + ab+a

8 ⩾3b

4 Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta được Q ⩾a+b

2 −ab

4 −1

4 ⩾a+b

2 −2(a+b)−3

4 −1

4 = 1

2 ⇒P ⩾1

2 + √

2 Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1, hay x = y = z > 0 2. Hệđã cho tương đương với: x2 + y2 + x + y = 4 x2 + y2 + x + y + xy = 2

⇔ (x + y)2 + (x + y) −2xy = 4 xy = −2

Suy ra x + y = 0 xy = −2

hoặc x + y = −1 xy = −2

⇔ x = √

2 y = − √

2 ∨ x = − √

2 y = √

2 ∨ x = 1 y = −2 ∨ y = −2 x = 1

1 ThuVienDeThi.com

Vậy hệcó 4 nghiệm (x; y) = ( √

2; − √

2); (− √

2; √

2); (1; −2); (−2; 1) 3. Từđiều kiện [ AIB = 90◦=> [ ACB = 1

2 [ AIB = 45◦=> Tam giác ADC vuông cân tại D => DI vuông góc với AC => pt AC qua M là :x −2y + 9 = 0. d(D, AC) = 10 √

5 = 2 √

5⇒AD = 2 √

10 Gọi A(2a −9, a) ⇒(2a −8)2 + (a + 1)2 = 40=> a=5 hoặc a=1. Do A có hoành độ>0 nên A(1, 5) => B(2, −2)

2 1. Cho a,b,c là 3 sốthực không âm thoảc ⩽b ⩽a. Tìm GTNN của ab b+c + bc a+c + ac a+b + 1 2(a+b+c) + a+b+c

9 2. Trong mặt phẳng với hệtọa độOxy cho tam giác ABC cân tại B nộp tiếp đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 10y – 25 = 0. I là tâm đường tròn (C). Đường thẳng BI cắt đường tròn (C) tại M (5; 0). Đường cao kẻtừC cắt đường tròn (C) tại (-17/5; -6/5 ). Tìm tọa độA, B, C biết hoành độđiểm A dương. 3. Giải hệphương trình: ( x2 −y(x + y) + 1 = 0 (x2 + 1)(x + y −2) + y = 0

Hướng dẫn 1. Do điều kiện c ⩽b ⩽a đã được sửa nên ta sẽchứng minh ab b+c + bc c+a + ca a+b ⩾a+b+c

2 ⇔( ab

b+c −a

2) + ( bc

c+a −b

2) + ( ca

a+b −c

2) ⩾0 ⇔ab−ac

b+c + bc−ab

c+a + ca−bc

a+b ⩾0 ⇔(ab −ac)( 1

b+c − 1 c+a) + (bc −ca)( 1 c+a − 1 a+b) ⩾0 ⇔a(a−b)(b−c)

(b+c)(c+a) −c(a−b)(b−c)

(c+a)(a+b) ⩾0 Do a ⩾b ⩾c nên ta chỉcần chứng minh a (b+c)(c+a) − c (c+a)(a+b) ⩾0 ⇔ a b+c ⩾ c a+b Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do giảthiết ⇒P ⩾a+b+c

2 + 1 2(a+b+c) + a+b+c

9 = 11(a+b+c)

18 + 1 2(a+b+c) ⩾ √

11 3 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = √

11 11 2. Trước hết ta tìm được B(−5, 10)Gọi E là giao của BM với DC => Tam giác BDE cân tại B =>⇒BD = BE = √

128 Gọi E(a, 5 −a) ⇒2(a + 5)2 = 128 →a = 3 hoặc a= -13 Với a=3 => E(3, 2) => C(7,4) => A(1,-2) ( thỏa mãn ) Với a=-13 loại do A có hoành độdương. 3. PT (1) ⇒y(x+y) = x2 +1 ̸= 0 ⇒y ̸= 0(3) Thay vào PT(2) ta có : y(x+y)(x+y −2)+y = 0 ⇔y [(x + y)2 −2(x + y) + 1] = 0 ⇔(x + y −1)2 = 0 (vì y ̸= 0 ) ⇔x + y = 1 (4) Thay vào (3), ta có : y = x2 + 1 (5) Từ(4) và (5), ta tính được x, y Vậy PT có nghiệm (x, y) là (0; 1), (−1; 2)

3 1. Cho a, b là các sốthực dương và a2 + b2 = a + b Tìm GTNN của P = 3a + 2b + 16 √

a+3b + 16 √3a+1 2. Trong MPTĐ Oxy,cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm K thuộc đoạn BC sao cho …