Bài tập Phương trình đường tròn

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Trang 4

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: . x a y b R 2 2 2 ( ) ( )    

Nhận xét: Phương trình , với , là phương trình đường tròn x y ax by c 2 2 2 2 0      a b c 2 2 0   

tâm I(–a; –b), bán kính R = . a b c 2 2   2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .

 tiếp xúc với (C)  d I R ( , ) 

VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

 Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x a y b R 2 2 2 ( ) ( )     thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.

 Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x y ax by c 2 2 2 2 0     

thì – Biến đổi đưa về dạng x a y b R 2 2 2 ( ) ( )    

hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R = . a b c 2 2  

Chú ý: Phương trình là phương trình đường tròn nếu thoả mãn x y ax by c 2 2 2 2 0     

điều kiện: . a b c 2 2 0   

Baøi 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó:

a) b) x y x y 2 2 2 2 2 0      x y x y 2 2 6 4 12 0     

c) d) x y x y 2 2 2 8 1 0     x y x 2 2 6 5 0    

e) f) x y x y 2 2 16 16 16 8 11     x y x y 2 2 7 7 4 6 1 0    

g) h) x y x y 2 2 2 2 4 12 11 0      x y x y 2 2 4 4 4 5 10 0     

VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là:

x a y b R 2 2 2 ( ) ( )     Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A.

– Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng .

– Bán kính R = . d I( , )  Dạng 3: (C) có đường kính AB.

– Tâm I là trung điểm của AB.

– Bán kính R = . AB

2 Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng .

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA.

ThuVienDeThi.com

Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Trang 5

Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng .

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

– Tâm I của (C) thoả mãn: . I d d I IA ( , )      – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B.

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2.

– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d I d I IA 1 2

1

( , ) ( , ) (1) ( , ) (2)         – Bán kính R = IA. Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2.

– Nếu 1 // 2, ta tính R = , và (2) được thay thế bới IA = R. d 1 2 1 ( , ) 2 

Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d.

– Tâm I của (C) thoả mãn: . d I d I I d

1 2 ( , ) ( , )       – Bán kính R = . d I 1 ( , ) 

Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).

Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: (*). x y ax by c 2 2 2 2 0      – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C).

Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: . IA IB IA IC      – Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.

– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = . d I AB ( , )

Baøi 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1)

a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Baøi 2. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 2)

a) b) I x y (3;4), : 4 3 15 0     I x y (2;3), : 5 12 7 0     c) d) I Ox ( …