Lý thuyết và bài tập Hình học 10

-1-

a b

A

D C

B o

HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA

TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .

+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được

kí hiệu là AB



( đọc là vectơ AB). + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là , , , ,... a b x y



(Chú ý: ) AB BA   

+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0



Ví dụ: ,.... , MM AA 

+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB



≠ 0



, đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB



. Còn vectơ không thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. AA 

+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.

Chú ý:

+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài kí a



hiệu là | |, a



| | AB AB BA   

 Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Nếu bằng thì ta viết = . a



b



a



b



= , | |= 0. AA BB   

0 

0 

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm

a) Tất các vectơ khác ; 0 

b) Các vectơ cùng phương; c) Các vectơ bằng nhau.

Các kí hiệu thường gặp

cùng phương kí hiệu: // AB 

CD



AB 

CD



cùng hướng kí hiệu:  AB 

CD



AB 

CD



ngược hướng kí hiệu:  AB 

CD



AB 

CD



A

B

ThuVienDeThi.com

-2-

A

D C

B o

E F

D B

A

C

K I

N

M D

A

C

B

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng

Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ là 0 

, AB BA 

Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó.

Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0



Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ khác . Tìm điểm M sao cho: a



0 

cùng phương AM 

a



Giải

Gọi  là giá của a



Nếu cùng phương thì đường thẳng AM//  AM 

a



Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //  Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì cùng phương AM 

a



Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau

Ta có thể dùng một trong các cách sau:

+ Sử dụng định nghĩa: | | | | , cuøng höôùng a b a b a b

     

    

+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì

,… , AB DC BC AD      

(hoặc viết ngược lại) + Nếu , a b b c a c         

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

Chứng minh: EF CD   

Giải Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD,

EF= BC=CD EF=CD (1) 1 2 EF CD   

cùng hướng (2) EF 

CD



Từ (1),(2)  EF CD   

Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành

EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành 1 2 EF CD   

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.

Chứng minh: , AM NC DK NI     

Giải Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành

AM NC   

Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm của MD = . Tứ giá IMKN là hình bình hành, DK 

KM 

suy ra =  NI 

KM 

DK NI   

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).

Giải Giả sử . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng AB AC   

góc A BC.

(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)

a





m

ThuVienDeThi.com