Đề thi olympic toán 7 năm học 2013-2014 (thời gian 120 phút ) trường THCS Thanh Văn

1

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI Đề THI OLYMPIC TOÁN 7 Trường THCS Thanh Văn Năm học 2013-2014 (Thời gian 120 phút ) Câu 1. (5điểm ) 1. Cho c2=ab Chứng minh rằng:

a ; b a c b

c a   

2 2

2 2

b; = 2 2

2 2

c a

a b

 

a

a b 

2. Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các 70 213

mẫu của chúng tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó. Câu 2. (6 điểm ) 1. Cho đa thức: f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 +….+ 2000x – 1 Tính giá trị của đa thức tại x = 1999. 2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số: A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn. Câu 3.(2 điểm ).

Tìm số tự nhiên x để phân số có giá trị lớn nhất. 3 2

8 7

  x x

Câu 4. (7 điểm ). 1. Cho tam giác ABC cân tại A, = 500.Gọi K là điểm trong tam giác B  sao cho =100, = 300. KBC  KCB  a, Chứng minh BA=BK b, Tính số đo BAK  2. Cho xAy = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH  vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh : a, K là trung điểm của AC b, KMC là tam giác đều  c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh AKM  - Hết- Duyệt của BGH Người ra đề

Nguyễn Thị Lan Hương

ThuVienDeThi.com

2

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM OLYMPIC Môn: Toán 7( Năm 2013-2014) Câu 1 . (5đ)

1.(2đ) a, Từ c2=a.b    b c c a     b a b a b

b a a b b a

b a a b c

c a b c c a        

   . .

.

2

2

2 2

2 2

2

2

2

2

b, Theo câu a ta có a b c a

c b b a

b c

c a      



2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

a

a b c a

a b a b c a

c b a b c a

c b               

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

.... 1 1

2 .(3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c = 70

213

Và a : b : c = = 6 : 40 : 25 ………. 2 5 : 1 4 : 5 3

Suy ra a = ; b = ; c = 35

9

7 12

14 15

Câu 2.(6điểm ) 1. (3đ) f(x) =x17 – 1999x16 – x16 + 1999x15 + x15 – 1999x14 - x14+…+1999x + x – 1 f(1999) = 199917 - 199917 - 199916 + 199916 + 199915 - 199915- 199914+…+19992+1999 – 1 = 1999 – 1 = 1998. 2.(3đ) Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = ….. = 2m + 2n – 3 Với m, n N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ . Do đó trong hai số  5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn. Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn. Câu 3 . (2 đ)

.Đặt A= ) 3 2 ( 2

5 2 7 ) 3 2 ( 2

5 ) 3 2 ( 7 ) 3 2 ( 2

) 8 7 ( 2 3 2

8 7

   

       

x x x x x x x

Đặt B= Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất ) 3 2 ( 2

5

 x ……GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2

Câu 4;(7 đ) 1.(4đ)

ThuVienDeThi.com

3

a,-vẽ tia phân giác cắt CK ở I …. .Ta có cân nên IB=IC ABK  IBC 

….. (ccc) CIA BIA    …nên =120o  BIA CIA  Do đó (gcg) BIK BIA    BK BA  

b, ……..Từ phần a ta tính được o BAK 70  

2.(3đ) V ẽ h ình , GT _ KL

a, ABC cân tại B do và BK là đường cao BK là  A A A ( ) CAB ACB MAC    đường trung tuyến K là trung điểm của AC  b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )  

BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC  1 2

BH = AC  1 2

Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK 1 2 

MKC là tam giác cân ( 1 )  Mặt khác : = 900 và = 300 AMCB AACB = 600 (2) AMCK Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều  c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm  Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: 

ThuVienDeThi.com