Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Quảng Bình - Thanh Hóa

PHÒNG VHXH XÃ

QUẢNG BÌNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025-2026

MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)

( Đề thi gồm 1 trang) Câu 1(2,0 điểm). Rút gọn biểu thức

2 2 3 1 1 4 4052 : 2 2 4 x x R x x x x x x x − +   = + −   − + −  

. ( với 0; 2 x x ≠ ≠± )

Câu 2(2,0 điểm). Cho các số thực , , x y z khác 0, đôi một khác nhau và thỏa mãn:

2 2 2 x xy y yz z zx − = − = − . Tính x z y A z y x = + +

Câu 3(2,0 điểm). Tìm x biết: ( )

2 2 2 2 3 6 2 x x x x − + − = −

Câu 4(2,0 điểm). Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương nhỏ hơn 13. Tính xác suất để

hai số được chọn là hai số nguyên tố trong đó có một số chẵn và một số lẻ.

Câu 5(2,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn :

( ) 2 2 2 7 2 10 0 x xy x y y + + + + + = Câu 6(2,0 điểm). Cho n số nguyên dương sao cho 4 13 n + và 5 16 n + là các số chính phương. Chứng minh rằng 2023 45 n + chia hết cho 24.

Câu 7(4,0 điểm). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC) có 3 đường cao

AD,BE,CF cắt nhau tại H.

a) . . AB AF AC AE = và AEF ABC ∆ ∆ 

b) Tia EF cắt đường thẳng BC tại K, chứng minh CD.FK=CK.FD

Câu 8(2,0 điểm). Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Tia Mx song song với AB cắt BC tại D , tia My song song với BC cắt AC tại E và tia Mz song

song với AC cắt AB tại F . Chứng minh rằng: EF 3 D ABC S S ≤ ( ABC S là diện tích tam

giác ABC, EF D S là diện tích tam giác DEF).

Câu 9(2,0 điểm). Trên một đường tròn, lấy 1000 điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xen kẽ nhau. Mỗi điểm được gán với một giá trị là một số thực khác 0, giá trị của mỗi điểm màu xanh bằng tổng giá trị của hai điểm màu đỏ kề với nó, giá trị của điểm màu đỏ bằng tích giá trị của hai điểm màu xanh kề với nó. Tính tổng giá trị của 1000 điểm trên. - HẾT-

Đề thi chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 – 2026

MÔN THI: TOÁN 8 Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang Câu Ý Nội dung Điểm

1

Với 0; 2 x x ≠ ≠±

( ) ( ) ( ) 2 1 1 4 . 2 2 4052 4 x x x R x x x x x x

  − + = + −   − + −    

2 1 1 1 4 . 4052 2 2 4 x x R x x x − +   = + −   − + −  

( )( ) ( )( )

2 1 2 1 2 4 1 . 4052 4 x x x x x − + + + − − = −

( ) 2

2 2 4 1 1 . 4052 4 2026

x

x

− = = −

Vậy 1 2026 R =

Với 0; 2 x x ≠ ≠±

0,5

0,5

0,5

0,5

2

Đặt 2 2 2 . a x xy y yz z zx = − = − = − Do , , x y z khác 0 và đôi một khác nhau nên 0 a ≠ .

Khi đó ta có: a x y x = −

; a y z y = − ; a z x z = −

Suy ra 0 a a a x y y z z x x y z + + = − + − + − =

1 1 1 1 1 1 0 0 a x y z x y z   ⇒ + + = ⇒ + + =    

, ( vì 0 a ≠ ).

Suy ra xy + yz + zx = 0 hay xy = - (yz + zx) (1)

Vì thế A =

2 2 2 x z y x y y z z z z y x xyz + + + + = =

2 2 ( ) x yz zx y z z x xyz − + + +

=

2 2 ( ) xyz z x y zx xyz − − − − (2)

Từ giả thiết x2 – xy = y2 – yz, suy ra x2 – y2 = xy – yz (3) Thế (3) vào (2), với lưu ý tới (1), ta được:

A = ( ) ( ) xyz z xy yz zx xyz z xy xy xyz xyz − − − − − − + = = 3 3 xyz xyz − = −

0,5

0,5

0,5

0,5

3

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 3 6 2 2 3 2 2 0 x x x x x x x x − + − = −⇔ − + − + =

Đặt 2 2 x x y − = ta có: ( )( ) 2 3 2 0 1 2 0 1 y y y y y + + = ⇔ + + = ⇔ = −

hoặc 2 y = −. Với ( ) 2 2 2 1 1 0 1 x x x x − = −⇔ − = ⇔ =

Với ( ) 2 2 2 2 1 1 0 x x x − = −⇔ − + = không thỏa mãn

0,5

0,5

0,5

0,5