Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Bá Thước - Thanh Hóa

UBND XÃ BÁ THƯỚC

(Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC: 2025-2026

Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2.0 điểm). Rút gọn biểu thức 3 2 2 1 2 2 : 1 1 1 1 x x P x x x x x    = − −    − − + − +   

(với x ≠ 1)

Câu 2 (2.0 điểm). Cho a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn

0 a b c + + = . Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c Q a b c b c a c a b = + + − − − − − −

Câu 3 (2.0 điểm). Giải phương trình:( )( ) ( ) 2 3 2 1 3 8 16 x x x − + + = −

Câu 4 (2.0 điểm). Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất.

a) Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với tổng số chấm xuất hiện trên mặt của hai con xúc xắc?

b) Tính xác suất của biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố".

Câu 5 (2.0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn phương trình: 2 4 3 2 y x x x = + + .

Câu 6 (1.5 điểm). Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 150 km , đi ngược chiều nhau và giặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu vận tốc của ô tô đi từ A tăng thêm 15 / km h thì vận tốc sẽ gấp đôi vận tốc ô tô đi từ B .

Câu 7 (1.5 điểm). Một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có AB =50 m và BC = 70 m. Có hai vị trí E, F cố định lần lượt thuộc cạnh AB và BC sao cho BE = BF = 20 m. Người ta tạo ra một khu đất hình thang EFGH (EF // GH) để trồng hoa, trong đó các điểm G, H tương ứng thuộc các cạnh CD và AD. Hỏi diện tích lớn nhất của khu đất trồng hoa là bao nhiêu mét vuông?

Câu 8 (5.5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trên các đường cao BE, CF của tam giác

ABC lấy các điểm theo thứ tự I, K sao cho   0 0 90 , 90 AIC AKB = = . Gọi H là giao điểm của BE và CF.

Chứng minh:

a) Hai tam giác AIE và ACI đồng dạng b) AI=AK

c) ( ) 2 3 HA HB HC AB AC BC + + < + +

Câu 9 (1.5 điểm). Một bàn cờ có kích thước 8×8 (gồm 64 ô vuông nhỏ). Người ta cắt bỏ đi hai ô vuông ở hai góc đối diện của bàn cờ. Hỏi có thể dùng 31 mảnh gỗ hình chữ nhật kích thước 1× 2(mỗi mảnh phủ kín đúng 2 ô vuông của bàn cờ) để ghép kín phần còn lại của bàn cờ được không? Giải thích vì sao.

------------------HẾT----------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

50m

70m

20m

20m

A D

B C

E

F

G

H

UBND XÃ BÁ THƯỚC

(Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP XÃ

NĂM HỌC: 2025-2026

Môn: Toán 8

Câu Hướng dẫn Điểm

Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn biểu thức 3 2 2 1 2 2 : 1 1 1 1 x x P x x x x x    = − −    − − + − +   

(với x ≠ 1)

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

3 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 2 2 : 1 1 1 1

1 2 2 : 1 1 1 1 1

1 2 1 2 : 1 1 1

1 1 . 1 1 1

1 1

x x P x x x x x

x x P x x x x

x x x x P x x x

x x P x x x

P x

   = − −    − − + − +         = − −   − + − +       + − + − = + − +

− + = − + −

= −

Vậy với x ≠ 1 thì 1 1 P x = −

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 2 (2,0 điểm). Cho a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn

0 a b c + + = . Tính giá trị của biểu thức:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c Q a b c b c a c a b = + + − − − − − −

Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 0 ( ) ( ) 2

2 .

a b c a b c a b c b bc c

a b c bc

+ + = ⇒ = − + ⇒ = + = + +

⇒ − − =

Tương tự: 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 b a c ac c a b ab − − = − − = ;

Thay vào Q ta được:

2 2 2 3 3 3

2 2 2 2 a b c a b c Q bc ac ab abc + + = + + =

Lại có:

( )

( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 2 2

2 2

3 3 3 3

3 ( ) 3 3

a b c a b c a b ab abc abc

a b c a b a b c c ab a b c abc abc

+ + = + + − − − +

  = + + + − + + − + + + =  

(vì 0 a b c + + = )

Thay 3 3 3 3 a b c abc + + = vào Q ta được 3 3 2 2 abc Q abc = =

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 3 (2,0 điểm). Giải phương trình:( )( ) ( ) 2 3 2 1 3 8 16 x x x − + + = −

Ta có: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 3 2 1 3 8 16 3 2 3 3 3 8 144 x x x x x x − + + = − ⇔ − + + = −

Đặt 3 3 3 2 5;3 8 5 x t x t x t + = ⇒ − = − + = +

Ta có phương trình: ( ) ( ) 2 5 5 144 t t t − + = −

0,5