Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 - 2026 sở GDĐT TP Hồ Chí Minh

T r a n g | 1

Mỗi bài học là một hành trình khám phá mới. TOÁN 9

ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 9 (TP.HCM 25-26)

Câu 1:

1. Cho , 0 a b  thỏa mãn    1 1 2026 a b    . Tính giá trị của biểu thức:    2 2 2025 2025 a b M a b

   

2. Một mảnh đất có diện tích thay đổi theo thời gian. Biết rằng mỗi tháng, diện tích mảnh đất giảm đi 10%

và mất thêm 3 2 m . Tính diện tích mảnh đất ban đầu, biết rằng sau 2 tháng, diện tích mảnh đất còn lại là

51 2 m .

Câu 2:

1. Cho phương trình 2 3 1 0 x x   . Biết 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình,

hãy tính giá trị biểu thức: 2 2 1 2 1 2 1 2 2 7 10 A x x x x x x     

2. Ba bạn Ngọc, An, Thái đi mua kẹo gồm ba loại A, B, C. Biết rằng:

 Ngọc mua 3 viên loại A, 9 viên loại B, 6 viên loại C và phải trả 48.000 đồng.

 An mua 4 viên loại A, 4 viên loại B, 16 viên loại C và phải trả 72.000 đồng.

a) Nếu Thái mua 4 viên loại A, 17 viên loại B và 3 viên loại C thì Thái cần trả bao nhiêu tiền?

b) Giả sử một người mua tổng cộng 96 viên kẹo gồm cả ba loại A, B, C với tổng số tiền là 248.000 đồng.

Biết rằng: Số kẹo loại A tối đa là 15 viên.

Số kẹo loại C ít nhất bằng 1

8

bình phương số kẹo loại A.

Hỏi đơn giá lớn nhất có thể có của mỗi viên kẹo loại B là bao nhiêu?

Câu 3:

1. Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn nội tiếp   ;I r . Biết 4 AB  , 3 AC  . Gọi

, , E F G lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn  I với các cạnh , , AC AB BC . Lấy điểm D trên đoạn

BC sao cho AE CD  . Đường thẳng DI cắt AB tại M . Đường trung trực của đoạn CD cắt AC tại N và cắt BD tại K . Kẻ đường thẳng qua N vuông góc với DM tại H .

Tính bán kính r , độ dài đoạn AM và số đo góc  CHK .

2. Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC  ) có các đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại trực tâm H . Gọi M là

trung điểm của BC . Kẻ HJ vuông góc với AM tại J .

a) Chứng minh tứ giác BHJC nội tiếp.

b) Kẻ HG vuông góc với EF tại G . Gọi I là trung điểm của đoạn EF . Chứng minh AI DG  .

Câu 4:

Cho p là số nguyên tố thỏa mãn phương trình: 3 3 3 1 x y xy p     có nghiệm nguyên dương   ,x y . Tìm số

nguyên tố p lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên.

Câu 5:

1. Có n đội bóng tham gia một giải đấu vòng tròn một lượt (mỗi đội đấu với một đội khác đúng một lần).

Quy tắc tính điểm như sau: Thắng được 2 điểm, Hòa được 1 điểm, Thua được 0 điểm. Kết thúc giải

đấu, người ta nhận thấy có 5 n  đội có số điểm bằng nhau, và 5 đội còn lại có tổng số điểm là 27. Tìm n .

2. Cho tập hợp   * 1 18 S x x     ∣ . Ba bạn chọn ngẫu nhiên 3 số , , a b c từ tập S (có thể chọn lặp lại)

để lập thành phương trình:   2 0 ax x b ac bc     Tính xác suất để phương trình trên có một nghiệm

là 3 .

T r a n g | 2

Mỗi bài học là một hành trình khám phá mới. TOÁN 9

HƯỚNG DẪN

Câu 1:

1. Cho , 0 a b  thỏa mãn    1 1 2026 a b    . Tính giá trị của biểu thức:    2 2 2025 2025 a b M a b

   

Hướng dẫn    1 1 2026 a b    suy ra 2025 a b ab   

          2 2 2025 1 1 1 a a b ab a a a b a a a b            

          2 2 2025 1 1 1 b a b ab b a b b b b a b            

M            2 2 2 2025 2025 1 1 ( ) 1 1 a b a a b b a b a b a b            

Mà theo đề bài, ta đã biết    1 1 2026 a b    , nên:    2 2 2 2025 2025 2026( ) a b a b    

Vì , 0 a b  nên 0 a b   , đưa ra ngoài dấu căn ta được:      2 2 2025 2025 2026 a b a b    

  2026 2026 a b M a b

   

2. Một mảnh đất có diện tích thay đổi theo thời gian. Biết rằng mỗi tháng, diện tích mảnh đất giảm đi 10%

và mất thêm 3 2 m . Tính diện tích mảnh đất ban đầu, biết rằng sau 2 tháng, diện tích mảnh đất còn lại là

51 2 m .

Hướng dẫn

Gọi diện tích mảnh đất ban đầu là x (mét vuông, với điều kiện 0 x  ).

Khi mảnh đất mất đi 10%, nghĩa là diện tích còn lại bằng 90% diện tích trước đó.

o Sau tháng thứ nhất, diện tích mảnh đất còn lại là: 0.9 3 x  (mét vuông)

o Sau tháng thứ hai, mảnh đất lại tiếp tục mất đi …