Đề thi chọn HSG Toán 9 cấp xã năm 2025 - 2026 xã Xuân Sơn - TP HCM

ỦY BAN NHÂN DÂN

XÃ XUÂN SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP XÃ

NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

(Đề thi gồm 1 trang, 5 câu) Câu 1: (4 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: A = 2√?? + 1

√?? − 3 + √?? + 3

2 − √?? − 10 − √??

?? − 5√?? + 6 (x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9)

b) Giải phương trình: x2 + 9x + 20 = 2√3?? + 10

Câu 2: (4 điểm)

a) Cho phương trình x2 – (m + 2)x + 3m – 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x là độ dài các cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

b) Một khu dân cư dự định lắp đặt các trụ sạc cho xe điện nhằm đảm bảo tổng công suất từ 1000kW trở lên. Có hai loại trụ sạc:

- Trụ sạc AC: công suất 22 kW, giá 65 triệu đồng/trụ.

- Trụ sạc DC: công suất 30 kW, giá 90 triệu đồng/trụ.

Hỏi khu dân cư nên lắp đặt bao nhiêu trụ sạc mỗi loại để tổng chi phí là nhỏ nhất?

Câu 3: (5 điểm) Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn tâm O. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với OA. Gọi M là điểm bất kỳ trên d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến ME, MF với (O) (E, F là các tiếp điểm). EF cắt OM, OA lần lượt tại N và B. Vẽ hai tiếp tuyến AD, AC với (O) (D, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh: OD2 = OA.OB.

b) Chứng minh: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.

c) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất.

Câu 4: (4 điểm)

a) Cho biểu thức A = n2 + 4n + 5 (n ∈ N, n lẻ). Chứng minh A không chia hết cho 8.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2 + x – 2y + 5 = xy.

Câu 5: (3 điểm) Cho đa thức f(x) có bậc 2022 thõa mãn điều kiện f(n) = 1

?? , với x = 1; 2; 3; …; 2001. Tính giá trị của f(2002).

………..HẾT………..

Chữ ký giám thị 1: ……………………………………………………

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………………SBD …………………

HƯỚNG DẪN CHẤM

I) Hướng dẫn chung :

1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa. 2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn.

II) Đáp án và thang điểm :

Câu Nội dung trình bày Điểm 1a) (2,0đ) A = 2√?? + 1

√?? − 3 − √?? + 3

√?? − 2 − 10 − √??

(√?? − 3)(√?? − 2) 0,5

A = (2√?? + 1)(√?? − 2)

(√?? − 3)(√?? − 2) − (√?? + 3)(√?? − 3)

(√?? − 3)(√?? − 2) − 10 − √??

(√?? − 3)(√?? − 2) 0,5

A = = ?? − 2√?? − 3

(√?? − 3)(√?? − 2) 0,5

A = (√?? + 1)(√?? − 3)

(√?? − 3)(√?? − 2) = (√?? + 1)

(√?? − 2) 0,5

1b) (2,0đ)

ĐKXĐ: x ≥ -10/3 0,25 (x2 + 6x + 9) + 3x + 10 - 2√3?? + 10 + 1= 0 0,5 (x + 3)2 + (√3?? + 10 – 1)2 = 0 0,5

൜ ?? + 3 = 0 √3??+ 10 − 1 = 0 0,5

ቄ?? = −3

?? = −3(thỏa đkxđ). Vậy S = {3} 0,25

2a) (2,0đ)

Ta có

2 ( 4) 0 m m ∆= − ≥ ∀

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x thì ??= (??−4)2 > 0 ∀??

=> 4 m ≠

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

2

3 3

x x m

x x m

+ = +   = − 

0,5

Vì PT có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ; x là độ dài các cạnh của một tam giác vuông

có độ dài cạnh huyền bằng 5 nên 1 2 x ; x phải là các nghiệm dương phân biệt, ta có:

൝ ??> 0 ??> 0 ??1 2 + ??2 2 = 52 ⇔൝ ??+ 2 > 0 3??−3 > 0 (??1 + ??2)2 −2??1??2 = 25 ⇔൝ ??> −2 ??> 1 (??+ 2)2 −2(3??−3) = 25

⇔൝ ??> −2 ??> 1 ??2 −2??−15 = 0 ⇔൞

??> −2 ??> 1

൤??= 5     (??ℎậ??) ??= −3  (????ạ??)

1,0

Vậy m = 5 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x là độ dài các cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

0,5

2b) (2,0đ)

Gọi x là số trụ sạc AC, y là số trụ sác DC, ( x, y là các số tự nhiên)

Khi đó 22x + 30y ≥ 1000, ta cần tìm GTNN của 65x + 90y

Bài toán quy về bài toán mới : với x, y là các số tự nhiên thõa mãn

11x + 15y ≥ 500. Tìm GTNN của P = 13x + 18y

0,5

P = 13x + 18y =

13

11(11x +

198

13 ??) =

13

11(11x + 15y+

3

13 ??)

≥ 13

11(500 + 3

13 ??) ≥ 13.500

11

0,5