Đề thi Olympic 30 tháng 04 năm 2026 Toán 11 trường chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X X n ă m 2 0 2 6 T r a n g 1/2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4

LẦN THỨ XXX - NĂM 2026

Môn: TOÁN - Khối: 11 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 04/04/2026 Đề thi gồm 02 trang, 05 câu

- ĐỀ THI CHÍNH THỨC -

Lưu ý: - Thí sinh làm MỖI câu trên MỘT tờ giấy làm bài riêng biệt và ghi rõ SỐ CÂU ở dòng đầu tiên

của trang thứ nhất (kể cả câu không làm được, nếu có); - Thí sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị không giải thích gì thêm. Câu 1. (4 điểm)

Cho dãy số ( ) nx xác định như sau: 0 34 x = và

3

1 1 2

1 1

26 16 34

n n n

n n

x x x x x

− −

− −

+ + = − + với mọi 1 n .

Với mỗi 0 n  , đặt 2 2 2 0 1

1 1 1 30 30 30 n

n y x x x = + + + + + + . Chứng minh rằng dãy số ( ) ny có giới

hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2. (3 điểm)

Ký hiệu là tập các số thực. Tìm tất cả các hàm số : f → sao cho với mọi ,x y  , ta có

(2 ( )) ( ) (3 ( )). f x f y f x y f f x + + − =

Câu 3. (4 điểm)

Xét số nguyên 3 n  . Ký hiệu 1 1 1 k a a n =  = − là tất cả các số nguyên dương không vượt

quá n và nguyên tố cùng nhau với n. Đặt ( ) f n là ước chung lớn nhất của các số 3 3 1 1, , 1 k a a − −. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho ( ) 2 f n = .

Câu 4. (5 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn ( ) O . Các tia , , AO BO CO theo thứ tự cắt , , BC CA AB tại , , X Y Z . Đường thẳng XZ cắt AC tại E ; đường thẳng XY cắt AB tại F . Các đường thẳng BE , CF cắt nhau tại Q . Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( ) O cắt nhau

tại . P a) Chứng minh rằng các điểm , , A O Q thẳng hàng.

b) Giả sử PQ , EF cắt nhau tại T . Chứng minh rằng T là trung điểm của EF .

Câu 5. (4 điểm)

Một chuyên gia ẩm thực cần đưa ra đánh giá về n nhà hàng trong thành phố, trong đó n là một số nguyên dương. Mỗi cặp nhà hàng được vị chuyên gia so sánh với nhau theo hai tiêu chí: độ ngon của món ăn và chất lượng phục vụ. Với một số cặp nhà hàng, vị chuyên gia không thể quyết định nhà hàng nào tốt hơn nhà hàng còn lại trong một tiêu chí nào đó, nhưng điều này không xảy ra đồng thời ở cả hai tiêu chí. Ngoài ra, nếu vị chuyên gia cho rằng nhà hàng A tốt hơn nhà hàng B ở một

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X X n ă m 2 0 2 6 T r a n g 2/2

tiêu chí nào đó, và đồng thời cho rằng nhà hàng B tốt hơn nhà hàng C trong cùng tiêu chí đó, thì ông ta cũng đánh giá rằng nhà hàng A tốt hơn nhà hàng C trong tiêu chí ấy.

Chứng minh rằng tồn tại một nhà hàng R sao cho mọi nhà hàng khác đều bị vị chuyên gia đánh giá kém hơn nhà hàng R trong ít nhất một tiêu chí.

---------------- HẾT ---------------- Họ tên thí sinh: .................................................................... SBD: .................................................. Tên trường: .......................................................................... Tên tỉnh/TP: .....................................

K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ền t h ốn g 3 0 / 4 l ần t h ứ X X X n ă m 2 0 2 6 T r a n g 1/7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4

LẦN THỨ XXX - NĂM 2026

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN - Khối: 11 Đáp án gồm 07 trang, 05 câu

Câu 1 Nội dung Điểm

Đề bài

Cho dãy số ( ) nx xác định như sau: 0 34 x = và

3

1 1 2

1 1

26 16 34

n n n

n n

x x x x x

− −

− −

+ + = − + với

mọi 1 n . Với mỗi 0 n  , đặt 2 2 2 0 1

1 1 1 30 30 30 n

n y x x x = + + + + + + .

Chứng minh rằng dãy số ( ) ny có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

4

Chú ý rằng công thức xác định nx có thể được viết lại thành

3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1

26 16 4 30 120 4 4 34 34

n n n n n n

n n n n

x x x x x x x x x x

− − − − −

− − − −

+ + − + − − = − = − + − +

2 1 1 2

1 1

( 4)( 30) . ( 30) ( 4)

n n

n n

x x x x

− −

− −

− + = + − −

1

Bằng quy nạp, ta có ngay 4 nx  với mọi n. Hơn nữa,

2 1 1

1 1 1 . 4 4 30 n n n x x x − − = …