Chuyên đề Viète và ứng dụng ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

Chương 4. Chuyên đềViete và ứng dụng Trang 152

CHUYÊN ĐỀVIETE VÀ ỨNG DỤNG 9

CHUYÊN ĐỀVIETE VÀ ỨNG DỤNG

ÔN THI VÀO 10 HÀ NỘI

Chương 4

§1. TÍNH GIÁ TRỊVỚI BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG K9 – CHƯƠNG 4

Àinh Viïåt: The Best or Nothing

Hoå vaâ tïn hoåc sinh: Lúáp:

A. LÝ THUYẾT

1 Định lí Viete

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0)

giảsửphương trình có hai nghiệm x1, x2. Khi đó:  

 x1 + x2 = −b

a x1 · x2 = c

a

2 Một sốphép biến đổi hay gặp

○x2 1 + x2 2 = x2 1 + x2 2 + 2x1x2 −2x1x2 = (x1 + x2)2 −2x1x2

○x3 1 + x3 2 = (x1 + x2)(x2 1 + x2 2 −x1x2) = (x1 + x2)[(x1 + x2)2 −3x1x2]

Hoặc x3 1 + x3 2 = (x1 + x2)3 −3x1x2(x1 + x2).

○x4 1 + x4 2 = (x2 1)2 + (x2 2)2 + 2x2 1x2 2 −2x2 1x2 2 = (x2 1 + x2 2)2 −2x2 1x2 2.

○x5 1 + x5 2 thì tính x2 1 + x2 2 và x3 1 + x3 2 rồi xét tích (x2 1 + x2 2)(x3 1 + x3 2).

○x6 1 + x6 2 = (x2 1)3 + (x2 2)3 = (x2 1 + x2 2)(x4 1 + x4 2 −x2 1x2 2)

Hoặc x6 1 + x6 2 = (x3 1)2 + (x3 2)2 = (x3 1 + x3 2)2 −2x3 1x3 2.

○x7 1 + x7 2 thì tính x3 1 + x3 2 và x4 1 + x4 2 rồi xét tích (x3 1 + x3 2)(x4 1 + x4 2).

○|x1 −x2| thì xét |x1 −x2|2 = (x1 −x2)2 = (x1 + x2)2 −4x1x2.

○|x1| + |x2| thì xét (|x1| + |x2|)2 = |x1|2 + |x2|2 + 2|x1||x2|

= x2 1 + x2 2 + 2|x1x2| = (x1 + x2)2 −2x1x2 + 2|x1x2|.

o |A2| = A2, |A ± B|2 = (A ± B)2, |A · B| = |A| · |B|.

○Có hằng đẳng thức ⇒Khai triển.

○Có phép nhân đa thức ⇒Nhân phá ngoặc.

™ Hồng Hà, Đan Phượng, Hà Nội Đinh Việt h

1. Tính giá trịvới biểu thức đối xứng 153 Trang

○Có nhân tửchung ⇒Đặt nhân tửchung.

○Có phân số⇒Quy đồng.

○Có căn thức ⇒Đặt điều kiện và bình phương.

○Có trịtuyệt đối ⇒Đặt điều kiện và bình phương.

B. VÍ DỤMINH HỌA

VÍ DỤ1

Giảsửx1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 −5x + 3 = 0. Không giải phương trình hãy tính giá trịcủa các biểu thức sau:

A = x2 1 + x2 2 a) B = x2 1 + x2 2 + 6x1x2 b) C = (x1 −x2)2 c)

D = x2 1 + x2 2 −x1 −x2 d) E = x2 1x2 + x2 2x1 e) F = x3 1x2 + x3 2x1 −2x2 1x2 2 f)

O = (x1 + 3)(x2 + 3) g) I = x1(x1 + 2) + x2(x2 + 2) h) G = x3 1 + x3 2 i)

H = x4 1 + x4 2 j) I = x2 1(x1 −1) + x2 2(x2 −1) k) K = |x1 −x2| l)

L = |x1| + |x2| m) P = √x1 + √x2 n) Q = 1 √x1 + 1 √x2 o)

VÍ DỤ2

Giảsửx1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 −5x + 2 = 0. Không giải phương trình hãy tính giá trịcủa các biểu thức sau:

A = 1

x1 + 1

x2 a) B = 2x1x2 + 3 x2 1 + x2 2 + 2(x1x2 + 1) b)

C = x1 + 1

x1 + x2 + 1

x2 c) D = 1 x1 + 3 + 1 x2 + 3 d)

E = x1

x2 + x2

x1 −2 e) F = x1 x2 + 2 + x2 x1 + 2 f)

G = x1 −3

x2 1 + x2 −3

x2 2 g) H = 1

x3 1 + 1

x3 2 h)

I = x2 1 + x1 −1

x1 + x2 2 + x2 −1

x2 i)

VÍ DỤ3

Cho phương trình x2 + 3x −2 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tìm m biết M = m(x2 1 + x2 2) −x1x2 = −5

2.

VÍ DỤ4

Biết phương trình bậc hai x2 + 8x −6 = 0 có hai nghiệm x1 và x2, tìm tất cảgiá trịcủa m thỏa

mãn 70 −mx2 1 x2 = x1 + mx2.

™ Hồng Hà, Đan Phượng, Hà Nội Đinh Việt h

Chương 4. Chuyên đềViete và ứng dụng Trang 154

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

CÂU 1

Cho phương trình x2 −5x −2 = 0 có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trịcủa các biểu thức sau:

A = x2 1 + x2 2 + x1 + x2 a) B = x2 1 + x2 2 −x1x2 b)

C = x2 1 + x2 2 −x2 1x2 2 c) D = (x1 −x2)2 −4x1x2 d)

E = (x1 −x2)2 −2x1 −2x2 e) F = x3 1 + x3 2. f)

G = x1(x2 1 + 2) + x2(x2 2 + 2). g) H = (x1 −3x2)(x2 −3x1) h)

I = (3x1 −2)3(3x2 −2)3 i) K = x1(3+x2)+x2(3+x1)+3x2 1 +3x2 2 −10 j)

N = (x1 −x2)(x2 1 −x2 2) k) M = 4x2x3 1 + 4x1x3 2 l)

CÂU 2

Cho phương trình x2 −3x + 1 = 0. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình, không giải phương trình tìm giá trịcủa các biểu thức sau:

1 x1 + 1

x2 a) 1 −x1

x1 + 1 −x2

x2 b)

x2 1 + x2 2 c) x1 x2 + 1 + x2 x1 + 1 d)

1 x2 1 + 1

x2 2 e) x2 + 1 1 −x1 + x1 + 1

1 −x2 f)

CÂU 3

Cho phương trình −3x2 + x + 1 = 0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Không giải phương trình hãy tính:

A = x2 1 + 2

x1 + x2 2 + 2

x2 a) B = x2 x1 + 3 + x1 x2 + 3 b)

C = 2x1 −5

x1 + 2x2 −5

x2 c) D = x1 −1

x4 1 + x2 −1

x4 2 d)

E = 5x1 −x2

x1 −x1 −5x2

x2 e) F = x1 + 1

x2 + x2 + 1

x1 f)

G = x1

x2 + x2

x1 −x1x2 g) H = Å 1 + x2

2x1

ã Å 1 + …